О терминологии

[6opoDuJIo]

Текст ниже потенциально содержит ересь. Заранее прошу не прикладывать руку ко лбу, а обьяснить в чём я не прав или пнуть/подтолкнуть в нужном направлении.

У всех бывают пробелы в знаниях. И мои основные пробелы (которые я хочу восполнить) - это, собственно, математика и математическая терминология. При этом, пробел в терминологии настолько здоровый, что чуть ли не единственным источником информации служит Википедия, где несколько абстрактные формулировки (что, впрочем, не так уж и удивительно, учитывая то, что речь идёт о математике) иногда оставляют больше вопросов, чем ответов. Например, возьмём формулировку о барицентрических координатах:

Цитата:

Барицентрические координаты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Чем, в данном случае, является точечный базис? Является ли он некоторым "понятием" (т.е. является ли сутью выражения "при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис" требование/необходимость выражать эти самые скалярные параметры в формулировке $P_0,P_1,...P_n$ где n - это количество скалярных параметров?) или ещё чем?

Или второй пример: общее уравнение плоскости в пространстве.
Вид его, вероятно, знают все здешние постояльцы : $Ax+By+Cz+D=0$
Для неофита от математики - чертовщина, но дальнейшая (векторная) формулировка вносит больше ясности : $(r,N) + D = 0$ где $r$ это некоторая точка $M(x,y,z)$ (которая, очевидно, лежит на этой плоскости), а $N= (A,B,C)$ это вектор нормали к поверхности. При этом, похожий вид имеет уравнение прямой в общем виде : $Ax + By +C = 0$. Аналогично плоскости, имеется некоторая точка $M(x,y)$ и вектор нормали $N=(A,B)$. И тут уже начинаются новые вопросы:
Если уравнение плоскости в трёхмерном пространстве в общем виде является выражением $Ax+By+Cz+D=0$, а уравнение "плоскости" в двухмерном пространстве в общем виде это $Ax + Bx +C = 0$, то не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для четырёхмерного пространства можно выразить выражением $Ax+By+Cz+Dw+E=0$, с радиус-вектором $(x,y,z,w)$ и вектором нормали $N = (A,B,C,D)$?
Не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для произвольной размерности имеет такой вид:

$$\sum_{i=0}^\infty A_ia_i=-B , i \in \mathbb N $$

Если да, то возможно ли построить аналогичным образом уравнения других "базовых" фигур, таких как прямая, окружность, для произвольной размерности? Если да, то получается ли, что возможно существование таких фигур в аффинном пространстве, если допустить, что скалярные параметры можно выразить как вектор $r = (a_1, a_2, ...a_n)$, где $a_i$ - это скалярный параметр?

И это только несколько вопросов из сотен, что я перед собой ставил (если не тысяч). Ну, и один из самых главных : есть ли хоть капля смысла в рассуждениях выше или всё моё представление об этих понятиях не отвечает истинному положению вещей?

[svv]

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Или второй пример: общее уравнение плоскости в пространстве.
Вид его, вероятно, знают все здешние постояльцы : $Ax+By+Cz+D=0$
Для неофита от математики - чертовщина, но дальнейшая (векторная) формулировка вносит больше ясности : $(r,N) + D = 0$ где $r$ это некоторая точка $M(x,y,z)$ (которая, очевидно, лежит на этой плоскости), а $N= (A,B,C)$ это вектор нормали к поверхности. При этом, похожий вид имеет уравнение прямой в общем виде : $Ax + By +C = 0$. Аналогично плоскости, имеется некоторая точка $M(x,y)$ и вектор нормали $N=(A,B)$. И тут уже начинаются новые вопросы:
Если уравнение плоскости в трёхмерном пространстве в общем виде является выражением $Ax+By+Cz+D=0$, а уравнение "плоскости" в двухмерном пространстве в общем виде это $Ax + Bx +C = 0$, то не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для четырёхмерного пространства можно выразить выражением $Ax+By+Cz+Dw+E=0$, с радиус-вектором $(x,y,z,w)$ и вектором нормали $N = (A,B,C,D)$?
Не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для произвольной размерности имеет такой вид:

$$\sum_{i=0}^\infty A_ia_i=-B , i \in \mathbb N $$

Да, правильно. Надо только последнюю формулу исправить:

$$\sum_{i=1}^n A_i x_i=-B ,\;\; n \in \mathbb N $$

Хотя никто, в общем, и с нуля не мешает нумеровать координаты. А вот суммировать до бесконечности не надо. Это не то же самое, что суммировать до $n$, которое равно размерности пространства и может быть произвольным натуральным числом.

На физика Вы не похожи. Не философ ли?

[Xaositect]

Не читайте русскую википедию, чтобы выучить определения. Возьмите нормальный учебник или справочник.

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Например, возьмём формулировку о барицентрических координатах:

Приведенная цитата не является определением барицентрических координат. Определение барицентрических координат приведено ниже, в секции "определение", а определение точечного базиса - во втором абзаце. В частности, там написано, что $n$ - это размерность пространства.

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Или второй пример: общее уравнение плоскости в пространстве.

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Для неофита от математики - чертовщина,

А все просто - перед тем, как пытаться делать что-то с этим, надо сначала знать, что такое "уравнение поверхности". Математика --- она так устроена --- там определения используют предыдущие определения, и без этого понять их не получится.

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Если уравнение плоскости в трёхмерном пространстве в общем виде является выражением $Ax+By+Cz+D=0$, а уравнение "плоскости" в двухмерном пространстве в общем виде это $Ax + Bx +C = 0$, то не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для четырёхмерного пространства можно выразить выражением $Ax+By+Cz+Dw+E=0$, с радиус-вектором $(x,y,z,w)$ и вектором нормали $N = (A,B,C,D)$?
Не получается ли, что уравнение плоскости в общем виде для произвольной размерности имеет такой вид:

$$\sum_{i=0}^\infty A_ia_i=-B , i \in \mathbb N $$

Все примерно так и есть, только не надо пока бесконечностей. Разберитесь с $n$-мерными пространствами. И еще, в $n$-мерном пространстве эту штуку называют не плоскостью, а гиперплоскостью.

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Если да, то возможно ли построить аналогичным образом уравнения других "базовых" фигур, таких как прямая, окружность, для произвольной размерности?

Можно, этим занимается алгебраическая и аналитическая геометрия.

В общем, я советую вам вместо бессистемного просмотра википедии взять учебник аналитической геометрии и начать разбираться в нем последовательно. Иначе Вы что-нибудь пропустите и все, что на это опирается, понять не сможете. Можно, например, взять учебник Ильина-Позняка ("Аналитическая геометрия"). Сканы легко найти в интернете.
Здравые мысли у Вас есть, я думаю, начальный курс Вы вполне сможете освоить. Если что --- пишиите на форум, Вам помогут.

[6opoDuJIo]

svv в сообщении #740540 писал(а):

На физика Вы не похожи. Не философ ли?

Ни то, ни другое. Программист.
А что с этим?

6opoDuJIo в сообщении #740534 писал(а):

Если да, то получается ли, что возможно существование таких фигур в аффинном пространстве, если допустить, что скалярные параметры можно выразить как вектор $r = (a_1, a_2, ...a_n)$, где $a_i$ - это скалярный параметр?

__________

Xaositect в сообщении #740543 писал(а):

В общем, я советую вам вместо бессистемного просмотра википедии взять учебник аналитической геометрии и начать разбираться в нем последовательно.

Хотите верьте, хотите нет, но учебник по аналитической геометрии был. Только уже не помню, как именно он назывался. Впрочем, именно последовательный подход имел место, но далеко я, как видите, не уехал - если знания нигде не используются - они теряются.

[Xaositect]

6opoDuJIo в сообщении #740569 писал(а):

Если да, то получается ли, что возможно существование таких фигур в аффинном пространстве, если допустить, что скалярные параметры можно выразить как вектор $r = (a_1, a_2, ...a_n)$, где $a_i$ - это скалярный параметр?

А этого я не понял. В аффинном пространстве можно ввести координаты, и любая точка будет задаваться набором координат.

6opoDuJIo в сообщении #740569 писал(а):

Ни то, ни другое. Программист.

Ну тогда параллельно с учебником можете поразбираться, как работает OpenGL/DirectX.

[6opoDuJIo]

Xaositect в сообщении #740570 писал(а):

Ну тогда параллельно с учебником можете поразбираться, как работает OpenGL/DirectX.

По долгу службы приходится использовать OpenGL, но только уровнем чуть повыше - на скриптуемых шейдерах (когда требуется).

Xaositect в сообщении #740570 писал(а):

А этого я не понял. В аффинном пространстве можно ввести координаты, и любая точка будет задаваться набором координат.

Имелось ввиду не добавление аффинного базиса (о нём ведь речь?) а использование самих скаляров, показывающих положение точки, как вектора (т.е. сумма всех компонент(?) такого вектора равнялась бы единице для всех точек, что лежат внутри многоульника).

[iifat]

6opoDuJIo в сообщении #740569 писал(а):

Хотите верьте, хотите нет, но учебник по аналитической геометрии был

Верю. По крайней мере, проверять не буду. Однако если уж забылось настолько прочно, что не помогает википедия — поверьте, единственный способ это взять снова учебник.