Доказать, что функция константа

[hurrdurrrderp]

Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.
Вроде понятно, что если $u(t)=const$, то интеграл будет 0 - выносим её за знак интеграла и получаем разность $x(b)-x(a)=0$. Но как это доказать в нужную (другую) сторону, я не понимаю.

У это задачи есть вторая часть: доказать, что если $ v(t), w(t) \in C[a;b]$ и $ \forall x \in L \int_a^b [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt = 0$, то $w'(t) = v(t)$, но я думаю, что сам пойму как её решить, если разберусь с первой частью.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Измените заголовок темы на информативный.

2. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SpBTimes]

Предположите, что $u(t)$ хотя бы в двух точках $x_1, x_2$ такова, что $u(x_1) \neq u(x_2)$. Раз она непрерывна, то нет равенства и в некоторых окрестностях. В остальных точках положим $u = c$. Тогда

$$ \int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt + \int\limits_{x_2 - \varepsilon}^{x_2 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt = (u(x_1) - c)(x(x_1 + \varepsilon) - x(x_1 - \varepsilon)) + (u(x_2) - c)(x(x_2 + \varepsilon) - x(x_2 - \varepsilon))+ $$

$$ + o(1) \neq 0 $$

[hurrdurrrderp]

Что-то я не совсем понял, как вы так с интегралами обошлись, т.е. откуда взялась скобка $ ( u(x_1) - c )$

[SpBTimes]

$ \int\limits_a^b x'(t)u(t)dt = c\int\limits_a^{x_1 + \varepsilon}x'(t)dt + \int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon} x'(t)(u(t) - c) dt + ... $
И как было замечено, при $u = c$ интеграл равен нулю.

[hurrdurrrderp]

Это-то понятно, как вы это проинтегрировали?

[SpBTimes]

т. о среднем

[hurrdurrrderp]

Освежил её в памяти, всё равно не понял. Применяя к этому интегралу получается, что есть такая точка $ z \in [x_1-\varepsilon;x_1+\varepsilon] $, что

$$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = x'(z)(u(z)-c)*2 \varepsilon $$

И это не похоже на вашу правую часть.

[SpBTimes]

Я применил её к одной функции из двух. Более того, посчитал $z = x_1$, добавив $o(1)$, в силу непрерывности функции

[hurrdurrrderp]

Т.е. где-то в промежутке между и левой и правой частью произошло что-то такое:

$$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)dt * \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon}(u(t)-c)dt $$

Интересно. Я тоже хочу так интегрировать.

[SpBTimes]

hurrdurrrderp
то, что написали вы, не эквивалентно тому, что написано у меня.

[hurrdurrrderp]

SpBTimes
Я не вижу другого способа применить теорему о среднем только к одной функции из двух под интегралом. Возможно, я слишком хочу спать. Завтра с утра посмотрю ещё раз.

[SpBTimes]

Вариант теоремы: Пусть $f, g$ интегрируемы на $[a, b]$ и $g$ сохраняет знак. Тогда, если кроме того $f$ непрерывна, то $\exists x_0 \in (a; b): \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(x_0)\int\limits_a^b g(x) dx$

[Oleg Zubelevich]

hurrdurrrderp в сообщении #740456 писал(а):

Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.

для гладких $u$ утверждение доказывается легко. Гладкие функции плотны $C[a,b]$