2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 19:53 


25/06/13
27
Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.
Вроде понятно, что если $u(t)=const$, то интеграл будет 0 - выносим её за знак интеграла и получаем разность $x(b)-x(a)=0$. Но как это доказать в нужную (другую) сторону, я не понимаю.

У это задачи есть вторая часть: доказать, что если $ v(t), w(t) \in C[a;b]$ и $ \forall x \in L \int_a^b [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt  = 0$, то $w'(t) = v(t)$, но я думаю, что сам пойму как её решить, если разберусь с первой частью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение25.06.2013, 19:55 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена в Карантин.

1. Измените заголовок темы на информативный.

2. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.06.2013, 20:36 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Предположите, что $u(t)$ хотя бы в двух точках $x_1, x_2$ такова, что $u(x_1) \neq u(x_2)$. Раз она непрерывна, то нет равенства и в некоторых окрестностях. В остальных точках положим $u = c$. Тогда
$$
\int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt + \int\limits_{x_2 - \varepsilon}^{x_2 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt = (u(x_1) - c)(x(x_1 + \varepsilon) - x(x_1 - \varepsilon)) + (u(x_2) - c)(x(x_2 + \varepsilon) - x(x_2 - \varepsilon))+
$$
$$
+ o(1) \neq 0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:22 


25/06/13
27
Что-то я не совсем понял, как вы так с интегралами обошлись, т.е. откуда взялась скобка $ ( u(x_1) - c )$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
$
\int\limits_a^b x'(t)u(t)dt = c\int\limits_a^{x_1 + \varepsilon}x'(t)dt + \int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon} x'(t)(u(t) - c) dt + ...
$
И как было замечено, при $u = c$ интеграл равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:34 


25/06/13
27
Это-то понятно, как вы это проинтегрировали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
т. о среднем

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:51 


25/06/13
27
Освежил её в памяти, всё равно не понял. Применяя к этому интегралу получается, что есть такая точка $ z \in [x_1-\varepsilon;x_1+\varepsilon] $, что $$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = x'(z)(u(z)-c)*2 \varepsilon $$
И это не похоже на вашу правую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Я применил её к одной функции из двух. Более того, посчитал $z = x_1$, добавив $o(1)$, в силу непрерывности функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:09 


25/06/13
27
Т.е. где-то в промежутке между и левой и правой частью произошло что-то такое:
$$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)dt * \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon}(u(t)-c)dt $$
Интересно. Я тоже хочу так интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
hurrdurrrderp
то, что написали вы, не эквивалентно тому, что написано у меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:15 


25/06/13
27
SpBTimes
Я не вижу другого способа применить теорему о среднем только к одной функции из двух под интегралом. Возможно, я слишком хочу спать. Завтра с утра посмотрю ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Вариант теоремы: Пусть $f, g$ интегрируемы на $[a, b]$ и $g$ сохраняет знак. Тогда, если кроме того $f$ непрерывна, то $\exists x_0 \in (a; b): \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(x_0)\int\limits_a^b g(x) dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:29 


10/02/11
6786
hurrdurrrderp в сообщении #740456 писал(а):
Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.


для гладких $u$ утверждение доказывается легко. Гладкие функции плотны $C[a,b]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group