Господи,
Alex_J, какую Вы белиберду пишете...
Не является. Даже если допустить "вырожденные отрезки"
![$[a,a]$ $[a,a]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/c/73c75287be8552d98e97a767ccc1da8382.png)
и "пустые отрезки".
Потому что это не интервалы, т.е. не открытые множества?
Нет, совершенно по другой причине. Какое отношение открытость в стандартной топологии числовой прямой имеет к совершенно другой топологии? Постарайтесь понять настоящую причину, почему Ваше семейство множеств, даже дополненное вырожденными и пустыми "отрезками", не является топологией.
Определение открытости использует понятие окрестности.
При Вашем определении топологии - не использует. Топология - это семейство открытых множеств, поэтому всякий элемент топологии является открытым множеством.
Вообще, стандартное определение такое:
топологическое пространство - это упорядоченная пара

, где

- множество, а

- семейство подмножеств множества

, называемое
топологией на множестве

и удовлетворяющее следующим трём аксиомам:
Т1. 
и

;
Т2. если

и

, то

;
Т3. если

, то

.
Элементы семейства

называются
открытыми множествами.
Но ещё раз, что есть окрестность для дискретного множества?
Что значит "для"? В каком топологическом пространстве?
Стандартно, если задано топологическое пространство

, то
окрестностью точки

(соответственно, множества

) называется произвольное открытое множество, содержащее точку

(соответственно, множество

). Поэтому, как только Вы определите топологическое пространство, в котором содержится Ваше "дискретное" множество, так сразу же будет ясно, какие у него окрестности.
В различных ситуациях слово "окрестность" может иметь разный смысл.
Например, множество объектов, не привязанных ни к какой системе координат.
Системы координат к топологии никакого отношения не имеют.
С одной стороны, эти объекты не могут иметь окрестности
Вздор.
из них можно сляпать топологию - она будет состоять из всех возможных сочетаний объектов по

штук,

,

- число объектов в исходном множестве. В определении топологии запрета на это нет. Но множества (сочетания) из

объектов должны быть открытыми, так что же это за открытость?
Ну, если уж мы определили на конечном множестве такую топологию, в которой все подмножества открыты (эта топология называется
дискретной), то так и будет. А что Вам не нравится? Кстати, дискретная топология довольно часто встречается. Даже на бесконечных множествах.
Кстати,

Вы забыли. Пустое множество тоже открыто.
Но ведь нет какого-либо смысла в "открытости" для дискретного множества, кроме обозначения, что данное множество входит в топологию.
А это в любом топологическом пространстве так: весь смысл открытости множества состоит исключительно в том, что это множество является элементом топологии.
А закрытое множество - то, которое не входит.
Это неверно. Во-первых, не "закрытое" множество, а замкнутое. Во-вторых,
замкнутым называется множество

, дополнение которого (то есть, множество

) открыто. А вовсе не любое "не открытое" множество. Кстати, множество может оказаться одновременно и открытым, и замкнутым. Например, множества

и

оба являются одновременно открытыми и замкнутыми (такие множества так и называются -
открыто-замкнутыми). В дискретном пространстве все множества такие.
Тогда для множества

из

объектов

можно построить и такую топологию (сделав сначала для определённости множество нумерованным):

,

,

, ...,

.
Конечных топологий довольно много, есть и такая. Кстати, у Вас тут ошибка: должно быть написано не

, а

.
Тогда все остальные множества, например

,

, - "закрытые".
Неверно. Вовсе не "все остальные" множества замкнуты. Полезная для понимания задача: перечислите все замкнутые множества Вашего топологического пространства.
Но всё равно это некая игра слов. Логичнее их называть соответственно "входящими" и "не входящими в топологию". Смысла в "открытости" не больше, чем в названии цветов кварков.
Глупости, вызванные непониманием. Когда разберётесь, сами будете смеяться.
Т.е. "открытость" в общем случае - это лишь следствие волеизъявления создателя конкретной топологии, тогда как в

всё строго, там шарики, окрестности, всё такое...
В случае стандартной топологии пространства

"открытость" также является "следствием волеизъявления создателя", просто из всех топологий, которые можно придумать для пространства

, именно эта топология оказалась наиболее полезной.
А в

, конечно, совершенно специфическая "открытость", исходящая уже из свойств непрерывности и "наличия бесконечного числа точек между любыми двумя точками".
Непрерывность определяется топологией.
Можно сказать (интересно, как в оригинале?..) , что открытые в смысле discovered, а не в смысле opened.

Т.е. топология, как инструмент, предназначенный для минимально необходимого описания множества, такого описания, что его достаточно, чтобы описать все остальные подмножества с поомщью действий над множествами, входящими в топологию, содержит в себе "обнаруженные" подмножества исходного множества, а не "открытые" в смысле их "доступности". Тогда "замкнутые" подмножества - non-discovered (а не closed), "необнаруженные", по крайней мере, пока не начаты действия над discovered подмножествами. Вот как-то так...
Пожалуйста.
Из теории множеств.
Множество всех цветовых сочетаний породистых кошек.
Множество пар (Заказчик, Исполнитель) в сфере b2b.
Множество "следов" движения неточечного объекта в пространстве (например, фигура, образуемая кистью конечного размера, на холсте, бумажном либо виртуальном, неважно)
Последнее множество можно разделить на подмножества самопересекающихся и несамопересекающихся следов, и любые два элемента из разных подмножеств не гомеоморфны друг другу.
Будете писать всякие идиотизмы - модератор рассердится и заблокирует.