2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 19:53 
Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.
Вроде понятно, что если $u(t)=const$, то интеграл будет 0 - выносим её за знак интеграла и получаем разность $x(b)-x(a)=0$. Но как это доказать в нужную (другую) сторону, я не понимаю.

У это задачи есть вторая часть: доказать, что если $ v(t), w(t) \in C[a;b]$ и $ \forall x \in L \int_a^b [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt  = 0$, то $w'(t) = v(t)$, но я думаю, что сам пойму как её решить, если разберусь с первой частью.

 
 
 
 Re: Интересная задача
Сообщение25.06.2013, 19:55 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в Карантин.

1. Измените заголовок темы на информативный.

2. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение25.06.2013, 20:36 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:13 
Аватара пользователя
Предположите, что $u(t)$ хотя бы в двух точках $x_1, x_2$ такова, что $u(x_1) \neq u(x_2)$. Раз она непрерывна, то нет равенства и в некоторых окрестностях. В остальных точках положим $u = c$. Тогда
$$
\int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt + \int\limits_{x_2 - \varepsilon}^{x_2 + \varepsilon}x't(u(t) - c)dt = (u(x_1) - c)(x(x_1 + \varepsilon) - x(x_1 - \varepsilon)) + (u(x_2) - c)(x(x_2 + \varepsilon) - x(x_2 - \varepsilon))+
$$
$$
+ o(1) \neq 0
$$

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:22 
Что-то я не совсем понял, как вы так с интегралами обошлись, т.е. откуда взялась скобка $ ( u(x_1) - c )$

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:31 
Аватара пользователя
$
\int\limits_a^b x'(t)u(t)dt = c\int\limits_a^{x_1 + \varepsilon}x'(t)dt + \int\limits_{x_1 - \varepsilon}^{x_1 + \varepsilon} x'(t)(u(t) - c) dt + ...
$
И как было замечено, при $u = c$ интеграл равен нулю.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:34 
Это-то понятно, как вы это проинтегрировали?

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:36 
Аватара пользователя
т. о среднем

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 21:51 
Освежил её в памяти, всё равно не понял. Применяя к этому интегралу получается, что есть такая точка $ z \in [x_1-\varepsilon;x_1+\varepsilon] $, что $$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = x'(z)(u(z)-c)*2 \varepsilon $$
И это не похоже на вашу правую часть.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:02 
Аватара пользователя
Я применил её к одной функции из двух. Более того, посчитал $z = x_1$, добавив $o(1)$, в силу непрерывности функции

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:09 
Т.е. где-то в промежутке между и левой и правой частью произошло что-то такое:
$$\int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)(u(t)-c)dt = \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon} x'(t)dt * \int_{x_1-\varepsilon}^{x_1+\varepsilon}(u(t)-c)dt $$
Интересно. Я тоже хочу так интегрировать.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:11 
Аватара пользователя
hurrdurrrderp
то, что написали вы, не эквивалентно тому, что написано у меня.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:15 
SpBTimes
Я не вижу другого способа применить теорему о среднем только к одной функции из двух под интегралом. Возможно, я слишком хочу спать. Завтра с утра посмотрю ещё раз.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:25 
Аватара пользователя
Вариант теоремы: Пусть $f, g$ интегрируемы на $[a, b]$ и $g$ сохраняет знак. Тогда, если кроме того $f$ непрерывна, то $\exists x_0 \in (a; b): \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(x_0)\int\limits_a^b g(x) dx$

 
 
 
 Re: Доказать, что функция константа
Сообщение25.06.2013, 22:29 
hurrdurrrderp в сообщении #740456 писал(а):
Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.


для гладких $u$ утверждение доказывается легко. Гладкие функции плотны $C[a,b]$

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group