2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение24.06.2013, 01:05 


18/06/13
58
Здравствуйте!

Как доказать следующее тождество: $$\overline{ \cap_{n=1}^\infty A_{n}}=\cup_{n=1}^\infty \bar A_{n}$$ Понимаю, что можно показать выполнение данного свойства для двух событий, потом мат индукцией для любого конечного числа событий. Но как доказать это для счетного числа событий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение24.06.2013, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Tigran-aminator в сообщении #739780 писал(а):
Понимаю, что можно показать выполнение данного свойства для двух событий, потом мат индукцией для любого конечного числа событий. Но как доказать это для счетного числа событий?
Из определений равенства и операций над множествами. Взять произвольный $x$ из левого множества, доказать, что оно лежит в левом, и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение25.06.2013, 16:22 


18/06/13
58
Xaositect

1) По предложенной Вами схеме мне не удалось построить доказательство. Не могли бы вы пояснить или привести подробное доказательство.

2) Все что мне приходит в голову, расписать $$\overline{\cap_{i=1}^\infty A_{i}}=\lim_{n \to \infty} \overline{\cap_{i=1}^{n} A_{i}} $$ $$\cup_{i=1}^\infty \bar A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cup_{i=1}^{n} \bar A_{i} $$ Потом использовать то что мат индукцией мы доказали что любой член последовательности $\overline{\cap_{i=1}^{n} A_{i}} $ равен соответствующему члену последовательности $\cup_{i=1}^{n} \bar A_{i}$. Потом использовать свойство предела: если каждый член последовательности равен соответствующему члену последовательности то и пределы последовательностей равны.

Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств («математическая индукция и сигма-алгебра»)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение25.06.2013, 16:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Tigran-aminator
Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):
Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств

Не следует. И именно это мы там старались Вам объяснить. (Иначе бы, например, любая алгебра была сигма-алгеброй.)

Запись Ваша никуда не годится: и по мелочам (обозначение индекса совпадает с максимальным значением индекса), и принципиально: вообще говоря, предельные переходы Вам писать никто не разрешал.

Не надо индукции. Она чрезмерно запала Вам в душу. Выкиньте ее оттуда. Вам дали единственно верный совет, следуйте ему. Если уж упорно не получается, напишите лучше, что Вы делаете и начиная с какого места не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение25.06.2013, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):
1) По предложенной Вами схеме мне не удалось построить доказательство. Не могли бы вы пояснить или привести подробное доказательство.
Пусть $x\in\overline{\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i}$. По определению дополнения это значит, что $x\notin\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$. Из этого следует, что $x$ не может принадлежать ни одному множеству из семейства $A_i$, так как если $x\in A_k$, то $x\in A_k\cup\bigcup\limits_{i\in\mathbb{N}, i\neq k} A_i = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$. Получили, что $x\notin A_k$ или, что то же самое, $x\in\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$ для всех $k\in\mathbb{N}$. По определению пересечения $x\in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty \bar{A}_i$.
Ну и наоборот похожим образом.
Вообще, это делается чисто формально вообще без слов:
\begin{align*}x\in\overline{\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i} \Leftrightarrow x\notin\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i \Leftrightarrow \neg(x\in\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i) \Leftrightarrow \neg\exists i\in\mathbb{N} (x\in A_i) \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \forall i\in\mathbb{N} (\neg (x\in A_i)) \Leftrightarrow \forall i\in\mathbb{N} (x\in \bar{A}_i) \Leftrightarrow x\in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty \bar{A}_i \end{align*}

Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):
2) Все что мне приходит в голову, расписать $$\overline{\cap_{n=1}^\infty A_{n}}=\lim_{n \to \infty} \overline{\cap_{n=1}^{n} A_{n}} $$ $$\cup_{n=1}^\infty \bar A_{n}=\lim_{n \to \infty} \cup_{n=1}^{n} \bar A_{n} $$
Да, можно и так. Но только если Вы можете доказать эти утверждения. В частности, определение предела последовательсности множеств Вы точно помните?
Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):
Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств («математическая индукция и сигма-алгебра» )
А собственно, Вы сами и отметили, чем этот случай отличается от того: тут можно переходить к пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение25.06.2013, 17:41 


18/06/13
58
Xaositect

Определение последовательности множеств я не читал, думал оно схоже с определением предела числовой последовательности. Оказалось не так :oops:

Я думал что $\cap_{i=1}^\infty A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cap_{i=1}^{n} A_{i} $, это и есть определение $\cap_{i=1}^\infty A_{i}$ поэтому и доказывать это не надо. Это то же не так? :-)

Ну и наконец почему в этом случае можно переходить к пределу а в случае с («математическая индукция и сигма-алгебра») нет ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойственность для счетного числа объединений и пересечений
Сообщение25.06.2013, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Tigran-aminator в сообщении #740368 писал(а):
Я думал что $\cap_{i=1}^\infty A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cap_{i=1}^{n} A_{i} $, это и есть определение $\cap_{i=1}^\infty A_{i}$ поэтому и доказывать это не надо. Это то же не так? :-)
Нет, не так. Объединение - понятие несколько более простое.

Tigran-aminator в сообщении #740368 писал(а):
Ну и наконец почему в этом случае можно переходить к пределу а в случае с («математическая индукция и сигма-алгебра» ) нет ?
Тут можно переходить к пределу, потому что нет ограничений на множества. Монотонная последовательность множеств всегда имеет предел, но предел последовательности множеств из алгебры не обязательно принадлежит алгебре.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group