Двойственность для счетного числа объединений и пересечений

[Tigran-aminator]

Здравствуйте!

Как доказать следующее тождество:

$$\overline{ \cap_{n=1}^\infty A_{n}}=\cup_{n=1}^\infty \bar A_{n}$$

Понимаю, что можно показать выполнение данного свойства для двух событий, потом мат индукцией для любого конечного числа событий. Но как доказать это для счетного числа событий?

[Xaositect]

Tigran-aminator в сообщении #739780 писал(а):

Понимаю, что можно показать выполнение данного свойства для двух событий, потом мат индукцией для любого конечного числа событий. Но как доказать это для счетного числа событий?

Из определений равенства и операций над множествами. Взять произвольный $x$ из левого множества, доказать, что оно лежит в левом, и наоборот.

[Tigran-aminator]

Xaositect

1) По предложенной Вами схеме мне не удалось построить доказательство. Не могли бы вы пояснить или привести подробное доказательство.

2) Все что мне приходит в голову, расписать

$$\overline{\cap_{i=1}^\infty A_{i}}=\lim_{n \to \infty} \overline{\cap_{i=1}^{n} A_{i}} $$

$$\cup_{i=1}^\infty \bar A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cup_{i=1}^{n} \bar A_{i} $$

Потом использовать то что мат индукцией мы доказали что любой член последовательности $\overline{\cap_{i=1}^{n} A_{i}} $ равен соответствующему члену последовательности $\cup_{i=1}^{n} \bar A_{i}$. Потом использовать свойство предела: если каждый член последовательности равен соответствующему члену последовательности то и пределы последовательностей равны.

Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств («математическая индукция и сигма-алгебра»)

[Otta]

Tigran-aminator

Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):

Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств

Не следует. И именно это мы там старались Вам объяснить. (Иначе бы, например, любая алгебра была сигма-алгеброй.)

Запись Ваша никуда не годится: и по мелочам (обозначение индекса совпадает с максимальным значением индекса), и принципиально: вообще говоря, предельные переходы Вам писать никто не разрешал.

Не надо индукции. Она чрезмерно запала Вам в душу. Выкиньте ее оттуда. Вам дали единственно верный совет, следуйте ему. Если уж упорно не получается, напишите лучше, что Вы делаете и начиная с какого места не получается.

[Xaositect]

Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):

1) По предложенной Вами схеме мне не удалось построить доказательство. Не могли бы вы пояснить или привести подробное доказательство.

Пусть $x\in\overline{\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i}$. По определению дополнения это значит, что $x\notin\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$. Из этого следует, что $x$ не может принадлежать ни одному множеству из семейства $A_i$, так как если $x\in A_k$, то $x\in A_k\cup\bigcup\limits_{i\in\mathbb{N}, i\neq k} A_i = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$. Получили, что $x\notin A_k$ или, что то же самое, $x\in\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i$ для всех $k\in\mathbb{N}$. По определению пересечения $x\in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty \bar{A}_i$.
Ну и наоборот похожим образом.
Вообще, это делается чисто формально вообще без слов:
\begin{align*}x\in\overline{\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i} \Leftrightarrow x\notin\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i \Leftrightarrow \neg(x\in\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i) \Leftrightarrow \neg\exists i\in\mathbb{N} (x\in A_i) \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \forall i\in\mathbb{N} (\neg (x\in A_i)) \Leftrightarrow \forall i\in\mathbb{N} (x\in \bar{A}_i) \Leftrightarrow x\in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty \bar{A}_i \end{align*}

Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):

2) Все что мне приходит в голову, расписать

$$\overline{\cap_{n=1}^\infty A_{n}}=\lim_{n \to \infty} \overline{\cap_{n=1}^{n} A_{n}} $$

$$\cup_{n=1}^\infty \bar A_{n}=\lim_{n \to \infty} \cup_{n=1}^{n} \bar A_{n} $$

Да, можно и так. Но только если Вы можете доказать эти утверждения. В частности, определение предела последовательсности множеств Вы точно помните?

Tigran-aminator в сообщении #740340 писал(а):

Меня удивляет, что выполнимость некоторого утверждения для счетного числа множеств следует из выполнимости для любого конечного числа множеств («математическая индукция и сигма-алгебра» )

А собственно, Вы сами и отметили, чем этот случай отличается от того: тут можно переходить к пределу.

[Tigran-aminator]

Xaositect

Определение последовательности множеств я не читал, думал оно схоже с определением предела числовой последовательности. Оказалось не так

Я думал что $\cap_{i=1}^\infty A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cap_{i=1}^{n} A_{i} $, это и есть определение $\cap_{i=1}^\infty A_{i}$ поэтому и доказывать это не надо. Это то же не так?

Ну и наконец почему в этом случае можно переходить к пределу а в случае с («математическая индукция и сигма-алгебра») нет ?

[Xaositect]

Tigran-aminator в сообщении #740368 писал(а):

Я думал что $\cap_{i=1}^\infty A_{i}=\lim_{n \to \infty} \cap_{i=1}^{n} A_{i} $, это и есть определение $\cap_{i=1}^\infty A_{i}$ поэтому и доказывать это не надо. Это то же не так?

Нет, не так. Объединение - понятие несколько более простое.

Tigran-aminator в сообщении #740368 писал(а):

Ну и наконец почему в этом случае можно переходить к пределу а в случае с («математическая индукция и сигма-алгебра» ) нет ?

Тут можно переходить к пределу, потому что нет ограничений на множества. Монотонная последовательность множеств всегда имеет предел, но предел последовательности множеств из алгебры не обязательно принадлежит алгебре.