Построение фаз волны конечной струны

[eugrita]

По поводу форм колебаний упругого стержня почему-то обычно ограничиваются
формулами для собственных частот или их расчетными значениями и приводят несколько форм колебаний для низших частот.

В струне-аналогично. Но здесь наряду с методами разложения по гармоникам широко используют приемы построения профиля волны при каждой фазе (по Даламберу), что позволяет исследовать свободные колебания во временной а не в спектральной области при любом начальном смещении.
Но такой же прием построения "бегущего профиля" годится и для упругого стержня. Правда там начальные смещения не могут быть изломами из-за наличия изгибной жесткости. И здесь нельзя пользоваться ф-лой Даламбера, но можно определить из начальных и краевых условий коэф-ты при всех ортогональных функциях $X_n(x)$ и дальше хотя и по методу Фурье суммируя по конечному числу гармоник, но строить те же профили для каждой фазы и получать анимации волны.

[eugrita]

Просмотрел раздел теории изгибных колебаний упругого стержня.
есть 3 вида теорий
а)уравнение Бернулли-Эйлера (без учета инерции поворота сечений)
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\frac{EI}{m}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}$ (1)
б)Уточненная теория Релея (Учет инерции вращения эл-та стержня при изгибе) $m\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}-\rho I \frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial t^2}=0$ (2)
в)теория Тимошенко (усложнение ур.(2) смешанными 2 производными)
---------------------------------------------------------------------------------
Вопрос. Обычно уравнение Бернулли-Эйлера решают методом разложения по нормальным функциям (метод Фурье). Но есть вроде волновой подход
подставляя в уравн колебаний волну $u=u_0\exp(j(wt-kx))$
получают дисперсионное уравнение $w^2-c_0^2r^2k^4=0$
откуда $w=\pm c_0r k^2$ и получают групповую скорость в 2 раза больше фазовой $v_{f}=c_0 r k, v_{gr}=2c_0 r k$
Можно ли использовать эти выражения для моделирования как и для струны волны методом Даламбера?

[Munin]

Для уравнений с дисперсией метод Д'Аламбера не работает (можно сделать нечто похожее, но получатся сложные выражения с интегралами).

[eugrita]

1)в частном случае рассмотрения -в задаче расчета волны в струне от начального импульса (импульса начальных скоростей ) возникает альтернатива как считать.
А)методом численного интегрирования
б)методом с подстановкой вычисленных аналитических значений интегралов.
Для стандартных прямоугольных и треугольных импульсов интегралы просты
Я-сторонник 2-го подхода, хотя соответствующее программирование функций громоздко и сводится к написанию сложных логических выражений и условных операторов.
основные мои соображения при построении программы анимации волны – подход 2 несмотря на сложность программирования функций для разных частных видов функции программа будет работать быстрее и не давать вычислительных задержек в режиме анимации чем когда она интеграл считает численным методом скажем трапеций.
Правда надо признать что для других краевых условий закрепления струны, скажем свободных от сил концов $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}=0$ и $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=L}=0$ используется не нечетное а четное 2L-периодическое продолжение профиля начальных скоростей $\psi(x)$ и формулы будут другими
Аналогичная трудность меня ждет при переходе от волнового уравнения струны к ДУРЧП для упругого стержня по одному из 3 возможных подходов выше
2)кстати, не очень ясен вид продолжаемых функций при разных краевых условиях на концах скажем 1 и 2 рода.Например, слева закрепление $u(0,t)=0$ а справа $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=L}=0$ .Как продолжать функцию $\psi(x)$ ?
в отрицательную сторону нечетно а на интервал $[L;2L]$ четно?

[Munin]

eugrita в сообщении #740944 писал(а):

1)в частном случае рассмотрения -в задаче расчета волны в струне от начального импульса (импульса начальных скоростей ) возникает альтернатива как считать.
А)методом численного интегрирования
б)методом с подстановкой вычисленных аналитических значений интегралов.
Для стандартных прямоугольных и треугольных импульсов интегралы просты
Я-сторонник 2-го подхода

Проблема в том, что на самом деле существует не один, а несколько аналитических способов решения волнового уравнения. Вы познакомились пока только с одним.

Насколько я себе представляю, методы решения волновых уравнений примерно распадаются на три класса:
1. Методы характеристик и разделения переменных, представитель которых - решение Д'Аламбера.
2. Методы интегральных преобразований и разложения по собственным колебаниям, наиболее известен метод Фурье.
3. Методы обращения дифференциального оператора - фундаментальное решение и функция Грина.
Эти методы, кроме первого, применимы и к уравнениям неволнового типа, например, к параболическим и эллиптическим.

Метод Фурье в случае струны представлял бы собой разложение начального условия произвольной формы по гармоникам, и сложение их обратно в произвольный момент времени. Ваши рассуждения о стержне, по сути, апеллируют к этому методу. Уравнения с произвольным законом дисперсии удобно решать этим методом.

Метод функции Грина представляет собой вычисление колебания струны в случае начального условия специального вида - отклонения от нуля только в одной точке. После этого, это колебание интегрируется с тем начальным условием, которое реально дано. Первый шаг можно сделать для струны однократно, и потом интегрировать с многими разными начальными условиями.

-- 27.06.2013 17:27:07 --

P. S. Частоту обозначают всё-таки не буквой $w,$ а похожей на неё греческой буквой "омега" $\omega.$ Такая ошибка "царапает глаз".

[eugrita]

1)да.Именно так. К сожалению в задаче об упругом стержне ни вы ни я не видим иного метода, кроме как разложения по конечному числу гармоник для каждого момента времени и получения профиля путем суммирования.
2)программа в части импульсных волн в струне стала работать почти правильно и я близок к моменту исполнения обещания- выложить программу.
Однако я должен все же разобраться в вопросе выше о других краевых условиях.

Правильно ли нарисовано продолжения прямоугольного импульса скорости в отрицательную сторону и на [L;2L]?(слева закрепление, справа-свободный конец -нет сил)
Где 2L-период? вроде на [-L;+L]?
3)Мунин. Вы очень много помогали мне, я ей-богу хотел бы оформить эту помощь как научное интернет-руководство.
Правда это что-то новое и ВУЗы и ВАК до этого не дошли. Отчитываться об руководстве можно не часами консультаций, а объемом ответов на вопросы соискателя. Может когда-нибудь дойдут.

[Munin]

eugrita в сообщении #741132 писал(а):

К сожалению в задаче об упругом стержне ни вы ни я не видим иного метода, кроме как разложения по конечному числу гармоник для каждого момента времени и получения профиля путем суммирования.

Я не сказал, что я не вижу. Я просто упругим стержнем не занимался. Если бы занялся - постарался бы поднять литературу, и может быть, узнал бы и другие способы. Например, метод функций Грина - очень всемогущ, трудно представить себе, где бы он не работал. Самое большее, его использовать может быть неудобно, но чтобы нельзя было вообще... не могу такого себе представить.

eugrita в сообщении #741132 писал(а):

Правильно ли нарисовано продолжения прямоугольного импульса скорости в отрицательную сторону и на [L;2L]?(слева закрепление, справа-свободный конец -нет сил)

Вот до импульсов скорости у меня пока ещё руки не дошли. Вот такой я лентяй. Извините.