Задачи про замкнутые множества

[alex-omsk]

1. Пусть $A$ и $B$ --- замкнутые множества в метрических пространствах $(X_1,\rho_1)$ и $(X_2,\rho_2)$ соответственно. Тогда $A \times B$ замкнуто в $X_1 \times X_2$.

Рассуждаю так: множество замкнуто, тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
Пусть $(a,b) \in Lim(A \times B)$, т.е. предельная. Тогда существует последовательность $(a_n,b_n) \in A \times B$ такая, что $(a_n,b_n) \to (a,b)$, то есть $\sqrt{\rho_1(a_n,a)^2+\rho_2(b_n,b)^2} \to 0$. Но тогда $\rho_1(a_n,a) \to 0$ и $\rho_2(b_n,b) \to 0$. А так как $A$ и $B$ --- замкнуты, то $a \in A, b \in B$ и, следовательно, $(a,b) \in A \times B$.
А когда верно обратное?
То есть пусть $A \times B$ --- замкнуто. Следует ли отсюда, что $A$ --- замкнуто?
Казалось бы, пусть $A \times B$ --- замкнуто. Пусть $a \in Lim(A)$. Тогда опять-таки существует последовательность $a_n \to a$. Пусть $b \in B$. Рассмотрим последовательность $(a_n,b) \in A \times B$.Тогда $(a_n,b) \to (a,b) \in A \times B$, следовательно $a \in A$. Я в чём-то не прав тут?

2. Доказать, что замкнутое подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ может быть представлено в виде множества частичных пределов некоторой последовательности.

Тут не совсем понятно. Хотелось бы взять что-то вроде $\mathbb{Q}^n \cap X$ но вот иррациональные числа тогда пропадут, а ведь им тоже хочется быть множеством частичных пределов некой последовательности.

[Otta]

alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):

Я в чём-то не прав тут?

А есть основания сомневаться?

[alex-omsk]

Otta в сообщении #740037 писал(а):

alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):

Я в чём-то не прав тут?

А есть основания сомневаться?

Гм, в задачнике задача сформулирована в одну сторону, поэтому есть

[SpBTimes]

Очевидно, это верно туда-сюда)
Декартово произведение не устанавливает взаимодействия между пространствами

[alex-omsk]

Ну да, вроде всё ок с первой.

[mihailm]

2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

[alex-omsk]

mihailm в сообщении #740051 писал(а):

2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Гм, ну да, то есть берем в нашем $X$ счетное всюду плотное множество и стряпаем из него последовательность. Получается успех?

[Padawan]

В первом надо еще потребовать $B\neq\varnothing$, иначе утверждение неверно )

[alex-omsk]

Padawan в сообщении #740057 писал(а):

В первом надо еще потребовать $B\neq\varnothing$, иначе утверждение неверно )

Как раз в обратную сторону!
Вообщем-то действительно, декартово произведение пустого на что-то это пустое.

[mihailm]

alex-omsk в сообщении #740056 писал(а):

mihailm в сообщении #740051 писал(а):

2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Гм, ну да, то есть берем в нашем $X$ счетное всюду плотное множество и стряпаем из него последовательность. Получается успех?

ну там каждый элемент еще бесконечное число раз в последовательность запихнуть, тогда полное счастье

[alex-omsk]

Цитата:

ну там каждый элемент еще бесконечное число раз в последовательность запихнуть, тогда полное счастье

Гм, а зачем? Разве просто из этой последовательности я не получу любой элемент в качестве частичного предела?

[mihailm]

Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы

[iifat]

mihailm в сообщении #740181 писал(а):

Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы

Берём вместо каждой изолированной точки её окрестность, не включающую прочих. Собственно, насчёт не включающей, наверное, лишнее — любую окрестность.

[mihailm]

iifat в сообщении #740183 писал(а):

mihailm в сообщении #740181 писал(а):

Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы

Берём вместо каждой изолированной точки её окрестность, не включающую прочих. Собственно, насчёт не включающей, наверное, лишнее — любую окрестность.

А зачем брать окрестности у изолированных точек?

[iifat]

Чтобы они получились предложенным способом как частичные пределы. Разумеется, можно и по-другому как-нибудь — скажем, добавить в нашу последовательность последовательность из каждой изолированной точки, например.

alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):

замкнутое подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ может быть представлено в виде множества частичных пределов некоторой последовательности

Интересно, а при чём тут замкнутость? То ли формулировка где-то неточна, то ли я чего-то не понимаю...