2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 20:32 
1. Пусть $A$ и $B$ --- замкнутые множества в метрических пространствах $(X_1,\rho_1)$ и $(X_2,\rho_2)$ соответственно. Тогда $A \times B$ замкнуто в $X_1 \times X_2$.

Рассуждаю так: множество замкнуто, тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
Пусть $(a,b) \in Lim(A \times B)$, т.е. предельная. Тогда существует последовательность $(a_n,b_n) \in A \times B$ такая, что $(a_n,b_n) \to (a,b)$, то есть $\sqrt{\rho_1(a_n,a)^2+\rho_2(b_n,b)^2} \to 0$. Но тогда $\rho_1(a_n,a) \to 0$ и $\rho_2(b_n,b) \to 0$. А так как $A$ и $B$ --- замкнуты, то $a \in A, b \in B$ и, следовательно, $(a,b) \in A \times B$.
А когда верно обратное?
То есть пусть $A \times B$ --- замкнуто. Следует ли отсюда, что $A$ --- замкнуто?
Казалось бы, пусть $A \times B$ --- замкнуто. Пусть $a \in Lim(A)$. Тогда опять-таки существует последовательность $a_n \to a$. Пусть $b \in B$. Рассмотрим последовательность $(a_n,b) \in A \times B$.Тогда $(a_n,b) \to (a,b) \in A \times B$, следовательно $a \in A$. Я в чём-то не прав тут?

2. Доказать, что замкнутое подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ может быть представлено в виде множества частичных пределов некоторой последовательности.

Тут не совсем понятно. Хотелось бы взять что-то вроде $\mathbb{Q}^n \cap X$ но вот иррациональные числа тогда пропадут, а ведь им тоже хочется быть множеством частичных пределов некой последовательности.

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 20:46 
alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):
Я в чём-то не прав тут?

А есть основания сомневаться? :wink:

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 20:51 
Otta в сообщении #740037 писал(а):
alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):
Я в чём-то не прав тут?

А есть основания сомневаться? :wink:

Гм, в задачнике задача сформулирована в одну сторону, поэтому есть :-)

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 20:56 
Аватара пользователя
Очевидно, это верно туда-сюда)
Декартово произведение не устанавливает взаимодействия между пространствами

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 20:58 
Ну да, вроде всё ок с первой.

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 21:04 
2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 21:10 
mihailm в сообщении #740051 писал(а):
2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Гм, ну да, то есть берем в нашем $X$ счетное всюду плотное множество и стряпаем из него последовательность. Получается успех?

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 21:15 
В первом надо еще потребовать $B\neq\varnothing$, иначе утверждение неверно )

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 21:17 
Padawan в сообщении #740057 писал(а):
В первом надо еще потребовать $B\neq\varnothing$, иначе утверждение неверно )

Как раз в обратную сторону!
Вообщем-то действительно, декартово произведение пустого на что-то это пустое.

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение24.06.2013, 21:21 
alex-omsk в сообщении #740056 писал(а):
mihailm в сообщении #740051 писал(а):
2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Гм, ну да, то есть берем в нашем $X$ счетное всюду плотное множество и стряпаем из него последовательность. Получается успех?

ну там каждый элемент еще бесконечное число раз в последовательность запихнуть, тогда полное счастье

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение25.06.2013, 08:53 
Цитата:
ну там каждый элемент еще бесконечное число раз в последовательность запихнуть, тогда полное счастье

Гм, а зачем? Разве просто из этой последовательности я не получу любой элемент в качестве частичного предела?

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение25.06.2013, 08:56 
Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение25.06.2013, 09:06 
mihailm в сообщении #740181 писал(а):
Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы
Берём вместо каждой изолированной точки её окрестность, не включающую прочих. Собственно, насчёт не включающей, наверное, лишнее — любую окрестность.

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение25.06.2013, 09:18 
iifat в сообщении #740183 писал(а):
mihailm в сообщении #740181 писал(а):
Изолированные точки тогда не получатся как частичные пределы
Берём вместо каждой изолированной точки её окрестность, не включающую прочих. Собственно, насчёт не включающей, наверное, лишнее — любую окрестность.

А зачем брать окрестности у изолированных точек?

 
 
 
 Re: Задачи про замкнутые множества
Сообщение25.06.2013, 09:46 
Чтобы они получились предложенным способом как частичные пределы. Разумеется, можно и по-другому как-нибудь — скажем, добавить в нашу последовательность последовательность из каждой изолированной точки, например.
alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):
замкнутое подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ может быть представлено в виде множества частичных пределов некоторой последовательности
Интересно, а при чём тут замкнутость? То ли формулировка где-то неточна, то ли я чего-то не понимаю...

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group