2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:01 


11/10/11
84
Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении следующего неравенства:

$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant x-4$$
$$D(f): x \neq 4$$
$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant \frac{(x-4)^2}{x-4}$$
$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant \frac{x^2-8x+16}{x-4}$$
$$\frac{4-x-x^2+8x-16}{x-4} \geqslant 0$$
$$\frac{-x^2+7x-12}{x-4} \geqslant 0$$
$$\frac{x^2-7x+12}{x-4} \leqslant 0$$
$$(x-3)(x-4)(x-4) \leqslant 0$$
Разбиваем числовую прямую на интервалы и проверяем знак в каждом из этих интервалов.

$x\in(-\infty;3]: x(0)=-48<0$
$x\in(3;4): x(3,5)=0,125>0$
$x\in(4;+\infty): x(5)=2>0$

Ответ: $x \in (-\infty;3]$. Где у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:03 


19/05/10

3940
Россия
нормально, нет ошибок

(Оффтоп)

Хотя решение конечно - мама не горюй

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:06 


11/10/11
84
mihailm, спасибо.
Но ответ в задачнике $x\in(-\infty;3)$

-- 23.06.2013, 22:08 --

mihailm
Скажите, пожалуйста, как бы Вы решили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:10 


19/05/10

3940
Россия
подставьте эту тройку.
Левая часть минус один (почти всегда)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:12 


11/10/11
84
mihailm
Я ошибся. Ответ в задачнике $x \in (-\infty;-3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 19:31 


19/05/10

3940
Россия
Ноль входит в этот промежуток? Если не входит - подставьте его в исходное неравенство

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 20:01 


11/10/11
84
Я подставил. Похоже, в задачнике ошибка.
Почему Вы написали это?
mihailm в сообщении #739664 писал(а):

(Оффтоп)

Хотя решение конечно - мама не горюй

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 20:08 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

ain1984 в сообщении #739688 писал(а):
...
Почему Вы написали это?
mihailm в сообщении #739664 писал(а):
Хотя решение конечно - мама не горюй

Очень нерациональное решение

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 20:54 


11/10/11
84
mihailm
А как решить рационально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение23.06.2013, 22:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
ain1984 в сообщении #739704 писал(а):
А как решить рационально?

Вычислить значение левой части. Иногда оно одно, иногда - другое, дальше разбираться.

Другой вариант - не вычислять. Но даже при Вашей записи хорошо видно, что $x-4$ общий множитель, зачем старательно раскрывать с ним скобки, а потом героически из всех скобок выносить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение24.06.2013, 05:04 


11/10/11
84
Otta, спасибо.

Действительно, $$\frac{4-x}{x-4}=-\frac{x-4}{x-4}=-1$$

-- 24.06.2013, 08:07 --

И сразу получается $x \leqslant 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение24.06.2013, 11:40 


11/10/11
84
Otta
А можно ли вот это неравенство решить как-то попроще:

$$\frac{x^2-5x+6}{x^2+5x+6}\leqslant \frac{x+1}{x}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение24.06.2013, 11:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
ain1984 в сообщении #739869 писал(а):
попроще:

Попроще, чем что? :D
Так нарядно, как у предыдущего, не получится. Решайте, как умеете, хотя немного упростить выражение можно, выделив целую часть слева и справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение24.06.2013, 16:09 


11/10/11
84
Otta
Это вот так, что ли?
$$1-\frac{10x}{x^2+5x+6}\geqslant 1+\frac1x$$
$$\frac1x+\frac{10x}{x^2+5x+6}\leqslant 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональное неравенство
Сообщение24.06.2013, 16:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group