Рациональное неравенство

[ain1984]

Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении следующего неравенства:

$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant x-4$$

$$D(f): x \neq 4$$

$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant \frac{(x-4)^2}{x-4}$$

$$\frac{4-x}{x-4} \geqslant \frac{x^2-8x+16}{x-4}$$

$$\frac{4-x-x^2+8x-16}{x-4} \geqslant 0$$

$$\frac{-x^2+7x-12}{x-4} \geqslant 0$$

$$\frac{x^2-7x+12}{x-4} \leqslant 0$$

$$(x-3)(x-4)(x-4) \leqslant 0$$

Разбиваем числовую прямую на интервалы и проверяем знак в каждом из этих интервалов.

$x\in(-\infty;3]: x(0)=-48<0$
$x\in(3;4): x(3,5)=0,125>0$
$x\in(4;+\infty): x(5)=2>0$

Ответ: $x \in (-\infty;3]$. Где у меня ошибка?

[mihailm]

нормально, нет ошибок

(Оффтоп)

Хотя решение конечно - мама не горюй

[ain1984]

mihailm, спасибо.
Но ответ в задачнике $x\in(-\infty;3)$

-- 23.06.2013, 22:08 --

mihailm
Скажите, пожалуйста, как бы Вы решили?

[mihailm]

подставьте эту тройку.
Левая часть минус один (почти всегда)

[ain1984]

mihailm
Я ошибся. Ответ в задачнике $x \in (-\infty;-3)$

[mihailm]

Ноль входит в этот промежуток? Если не входит - подставьте его в исходное неравенство

[ain1984]

Я подставил. Похоже, в задачнике ошибка.
Почему Вы написали это?

mihailm в сообщении #739664 писал(а):

(Оффтоп)

Хотя решение конечно - мама не горюй

[mihailm]

(Оффтоп)

ain1984 в сообщении #739688 писал(а):

...
Почему Вы написали это?

mihailm в сообщении #739664 писал(а):

Хотя решение конечно - мама не горюй

Очень нерациональное решение

[ain1984]

mihailm
А как решить рационально?

[Otta]

ain1984 в сообщении #739704 писал(а):

А как решить рационально?

Вычислить значение левой части. Иногда оно одно, иногда - другое, дальше разбираться.

Другой вариант - не вычислять. Но даже при Вашей записи хорошо видно, что $x-4$ общий множитель, зачем старательно раскрывать с ним скобки, а потом героически из всех скобок выносить.

[ain1984]

Otta, спасибо.

Действительно,

$$\frac{4-x}{x-4}=-\frac{x-4}{x-4}=-1$$

-- 24.06.2013, 08:07 --

И сразу получается $x \leqslant 3$

[ain1984]

Otta
А можно ли вот это неравенство решить как-то попроще:

$$\frac{x^2-5x+6}{x^2+5x+6}\leqslant \frac{x+1}{x}$$

[Otta]

ain1984 в сообщении #739869 писал(а):

попроще:

Попроще, чем что?
Так нарядно, как у предыдущего, не получится. Решайте, как умеете, хотя немного упростить выражение можно, выделив целую часть слева и справа.

[ain1984]

Otta
Это вот так, что ли?

$$1-\frac{10x}{x^2+5x+6}\geqslant 1+\frac1x$$

$$\frac1x+\frac{10x}{x^2+5x+6}\leqslant 0$$

[Otta]

Да.