инвариантная мера

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\dot x= v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ -- гладкая динамическая система с инвариантной мерой: $\mathrm{div}(\rho v)=0$, где $\rho(x)>0$ -- гладкая функция.

Доказать, что если $x(t)$ -- ограниченное решение данной системы, то

$$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\mathrm{div}\,v(x(s))ds=0$$

($\mathrm{div}\,v=\sum_i\frac{\partial v^i}{\partial x^i}$)

а тянет ли вообще эта задача на олимпиадную?

[scwec]

Из $\operatorname{div}(\rho{v})=0$ следует, что $\operatorname{div}(v)=-\frac{v(\rho)}{\rho}$, далее, вдоль $x(t)$ поле $v=\frac{d}{dt}$. Отсюда интеграл от дивергенции равен $-\ln\frac{\rho(t)}{\rho(0)}$ и в силу ограниченности $\rho(t)$ искомый предел равен нулю.

[Oleg Zubelevich]

да, конечно