2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 инвариантная мера
Сообщение23.06.2013, 09:52 


10/02/11
6786
Пусть $\dot x= v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ -- гладкая динамическая система с инвариантной мерой: $\mathrm{div}(\rho v)=0$, где $\rho(x)>0$ -- гладкая функция.

Доказать, что если $x(t)$ -- ограниченное решение данной системы, то $$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\mathrm{div}\,v(x(s))ds=0$$

($\mathrm{div}\,v=\sum_i\frac{\partial v^i}{\partial x^i}$)

а тянет ли вообще эта задача на олимпиадную? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: инвариантная мера
Сообщение24.06.2013, 09:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Из $\operatorname{div}(\rho{v})=0$ следует, что $\operatorname{div}(v)=-\frac{v(\rho)}{\rho}$, далее, вдоль $x(t)$ поле $v=\frac{d}{dt}$. Отсюда интеграл от дивергенции равен $-\ln\frac{\rho(t)}{\rho(0)}$ и в силу ограниченности $\rho(t)$ искомый предел равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: инвариантная мера
Сообщение24.06.2013, 10:06 


10/02/11
6786
да, конечно :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group