Практическое применение тригонометрии

[superVasya]

Здравствуйте.
Восстанавливаю успешно пропущенный в колледже школьный курс тригонометрии (иначе бывает неуютно учиться Мат. Анализу). Проблема в том, что меня смущают тригонометрические функции - везде пишут, чему они равны, как их считать и прочее (а ещё как классно $e^{ix}$ раскладывается в ${\cos x} + {i\sin x}$ по формуле Эйлера и из них получается красивый ряд Тейлора), но я не могу понять, что это и почему вокруг этих функций столько активности - их постоянно используют в примерах, по ним дают много заданий.
Почему именно эти функции, для чего они? Я читал, что они много где используются, но без конкретики.
Если сжато, вопрос: в чём важность тригонометрических функций $\sin x, \cos x$ и более непонятных тангенсов, котангенсов и прочего?

Вот пример: я не мог понять, что такое производная ("предел отношения приращения функции к приращению её аргумента" мне тогда не о многом говорил), но после того, как я увидел на этом же форуме объяснение, что производная - это скорость (там привели в пример ускорение как производную скорости, то есть значение, с которой скорость изменяется), всё встало на свои места. И стало понятно уже и про предел, и про геометрический смысл (там тоже кстати, "тангенс прямой опущенной к оси $x$", не очень о многом говорит). Возможно, можно что-то подобное сказать и про тригонометрические функции?

(Оффтоп)

И в рамках оффтопа - раз у меня так часто возникает вопрос "зачем?" - может есть какая-нибудь хорошая книга по этому поводу? Из того что нашёл, похоже "Что такое математика? Р. Курант, Г. Роббинс" - это то, что надо, но пока не дошёл до её чтения (и не уверен пока, что осилю - я ещё не втянулся толком в Calculus/Матан).

[TOTAL]

(Оффтоп)

Заодно объяснил бы кто-нибудь полезность квадратного корня, который тоже встречается тут и там.

[iifat]

TOTAL в сообщении #739810 писал(а):

(Оффтоп)

Заодно объяснил бы кто-нибудь полезность квадратного корня, который тоже встречается тут и там.

(Оффтоп)

Как, вам не рассказали? Квадратный корень, в отличие от круглого, заполняет плоскость без просветов!

superVasya в сообщении #739738 писал(а):

объяснение, что производная - это скорость

Вас обманули. Или вы неправильно поняли. Производная — это отнюдь не скорость. Таки это предел отношения изменения функции к изменению аргумента. Вот скорость — да, это производная от пути по времени, но никак не наоборот.
А синус с косинусом — это отношение длин противо/прилежащего катета к гипотенузе. И никакой "полезности" у них нет, как вам уже намекнули. Просто чуть дальше вы заметите, что они вылазят в самых разных ситуациях. Потому их свойства лучше таки знать — знания, они бывают полезными и бес, хотя это и весьма относительно.

[Legioner93]

Школьникам синусы и косинусы полезны тем, что разнообразные упражнения и задачки с оными не хило развивают математическую сноровку в целом.

[superVasya]

iifat в сообщении #739814 писал(а):

superVasya в сообщении #739738 писал(а):

объяснение, что производная - это скорость

Вас обманули. Или вы неправильно поняли. Производная — это отнюдь не скорость. Таки это предел отношения изменения функции к изменению аргумента. Вот скорость — да, это производная от пути по времени, но никак не наоборот.

Я просто плохо процитировал :)

Legioner93 в сообщении #739825 писал(а):

Школьникам синусы и косинусы полезны тем, что разнообразные упражнения и задачки с оными не хило развивают математическую сноровку в целом.

Спасибо, я больше имел в виду какое-либо инженерное применение, как вот в этой цитате из Википедии:

Цитата:

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Выглядит, как что-то важное.

[arseniiv]

superVasya, вот у вас что-то поворачивается в плоскости и вы хотите знать, а каковы же его (прямоугольные) координаты — и тут выходят косинус и синус. Многообразие их применений практически всё исходит из этого. (Это моя точка зрения. В любом случае, даже если и не из этого, многообразие применений никуда не пропадёт.)

-- Пн июн 24, 2013 21:41:36 --

Ах нет, это не моя точка зрения. Совсем забыл про гармонические колебания. Вместе это будут, наверно, два самых сильных источника.

-- Пн июн 24, 2013 22:03:30 --

Вроде ещё третья сторона у них была?

[Алексей К.]

superVasya,

Земля крутится вокуг себя самой и вокруг Солнца (точно не помню, может, наоборот). От этого возникают всякие явления типа день-ночь, зима-лето. Периодические явления. Ну как их описать без синуса-косинуса? Или не описывать? Не предсказывать погоду, не анализировать климат? Не запускать в космос всякую хрень?

И, главное, всё это мог сделать ещё Ньютон. Т.е. зажечь свечу, сосчитать ДУ, и правильно запустить спутник или предсказать погоду. Лишь бы свеча горела, и работать можно было достаточно долго.
Но, примерно в 1922 году, великий Ленин решил проблему свечи и электрифицировал страну. А как он получал электричество? Там тоже что-то обязательно крутилось! Турбины какие-то, прочая инфраструктура. Без синусов-косинусов не бывает нормального электричества! Даже если в шёлковых штанах ездить по эбонитовому желобку, то ведь потом надо бегом взад возвращаться (покушамши по дороге), и всё равно периодический процесс получается, хоть и без вращений.

Всё, что в жизни есть периодичного --- тригонометризуется. Правда, сама жизнь вроде не особо периодична. Да и ладно, пусть хоть это будет без тригонометрии. Действительно, тригонометрия малость задалбывает.

[iifat]

Алексей К. в сообщении #740054 писал(а):

Всё, что в жизни есть периодичного --- тригонометризуется

Уж мне эти математики! Они, гады, тригонометризуют всё, что периодично! А что непериодично — периодизируют и всё равно тригонометризуют! Вот, к примеру, парабола — менее периодичной функции просто не могу навскидку себе представить. Так, не поверите, они её сужают на отрезке, распространяют периодически — и всё равно в ряд Фурье раскладывают, охальники!

[svv]

superVasya писал(а):

я не могу понять, что это и почему вокруг этих функций столько активности

Синус -- это преобразователь вращения в колебательное движение.
Взгляните на картинку.

Шарик равномерно вращается по окружности. Наблюдатель смотрит сбоку и видит, что шарик поднимается-опускается. Закон поднимания-опускания и будет синусом.

Равномерное вращение -- настолько фундаментальный закон, что его пытаются отыскать даже там, где его вроде бы нет. Например, напряжение в розетке меняется по колебательному (синусоидальному) закону -- так давайте считать, что приборы измеряют только проекцию некоторого настоящего напряжения (комплексного), которое на самом деле вращается, как этот шарик.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Синус - это отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Так что для понимания нужности синуса сначала надо понять, зачем прямоугольному треугольнику нужны катеты и гипотенуза.