Комплексификация и инвариантные подпространства

[Foreman Jay]

Здравствуйте! Читаю "Курс алгебры" Винберга. Нужна помощь по двум вопросам.
1) Пусть $V$ -- вещественное линейное пространство. Построим множество $V(\mathbb{C})$ пар элементов $V$, определим известным образом $+ : V(\mathbb{C}) \times V(\mathbb{C}) \to V(\mathbb{C})$ и $\cdot : \mathbb{C} \times V(\mathbb{C}) \to V(\mathbb{C})$ -- получим новое линейное пространство.
Далее фраза: "Любой базис пространства $V$ (над $\mathbb{R}$) является в то же время базисом пространства $V(\mathbb{C})$." Как это возможно, если $\dim V(\mathbb{C})=2\dim V$?
2) Пусть $A$ -- линейный оператор в $V$, $A_\mathbb{C}$ -- его продолжение на $V(\mathbb{C})$. Утверждение: $x+iy$ -- собственный для $A_\mathbb{C}$ с собственным значением $\lambda+i\mu$ iff $U=\langle x,y \rangle \subset V$ -- двумерное инвариантное для $A$, причем $Ax=\lambda x - \mu y,\; Ay=\mu x - \lambda y(1).$ Правильно ли я рассуждаю в своём доказательстве? $A_\mathbb{C}(x+iy)=(x+iy)(\lambda+i\mu)=(\lambda x - \mu y)+i(x \mu + y \lambda)$, и $A_\mathbb{C}(x+iy)=A_\mathbb{C}(x)+iA_\mathbb{C}(y)$, значит, можно положить $(1)$. Теперь инвариантность $U$ относительно $A$ следует из его линейности. В другую сторону -- очевидно, просто расписать $Ax+iAy$.
Не покидает ощущение, что есть косяк

[ewert]

Foreman Jay в сообщении #739530 писал(а):

Как это возможно, если $\dim V(\mathbb{C})=2\dim V$?

А Вас не удивляет, что $\mathbb C^n$ имеет ту же размерность, что и $\mathbb R^n$?

[Foreman Jay]

Всё это время я был в заблуждении... Спасибо, первый вопрос снимается полностью
А что насчёт адекватности рассуждения в п.2?

[sopor]

Вроде все правильно, Вы не пугайтесь, это утверждение действительно простое

[ewert]

Оно вполне адекватно, только не вполне адекватно оформлено, отсюда и сомнения насчёт взад. На самом деле там просто исходная цепочка состоит из эквивалентностей.

[Foreman Jay]

ewert, sopor, спасибо!