Группы Галуа, помогите вычислить.

[xmaister]

Собственно, надо посчитать $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ для всех $n\in\mathbb{N}$. То что это расширение Галуа я доказал, дальше все .

(Оффтоп)

Она случайно не будет порождена автоморфизмом Фробениуса?

Надо посчитать $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p)$. Тут хотелось бы понять для начала, почему это расширение Галуа?

[lena7]

xmaister в сообщении #739675 писал(а):

То что это расширение Галуа я доказал, дальше все

Дальше можно рассмотреть подгруппу, порождённую автоморфизмом Фробениуса, и применить теорему Галуа (о соответствии).

[xmaister]

Рассмотрел, получается, что т.к. $f^l(z)=f^s(z)\Leftrightarrow l\equiv s\pmod{n}$, где $f$- автоморфизм Фробениуса, то $\langle f\rangle\cong\mathbb{Z}_n$, по мощности $\langle f\rangle$ и $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ совпадают, значит они равны, так?

[lena7]

Можно и так.

[xmaister]

А можно еще как-то? Кстати, а что со вторым делать, можете навести на мысль?

[Joker_vD]

По второму: $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$, проективный предел. Это т.н. "проконечное пополнение $\mathbb Z$", довольно уродливая штука. Я где-то тут на форуме спрашивал про него, оно несчетно.

-- Вс июн 23, 2013 22:37:21 --

Вот: topic54374.html

[lena7]

Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):

А можно еще как-то?

Так, как я написала во втором сообщении.

[apriv]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):

Это т.н. "проконечное пополнение $\mathbb Z$", довольно уродливая штука.

Отчего ж уродливая? Милая и прекрасная штука, просто-напросто произведение всех колец целых $p$-адических чисел. Много где встречается в математике.

[xmaister]

lena7 в сообщении #739731 писал(а):

Так, как я написала во втором сообщении.

Так я так и сделал. Рассмотрел группу, порожденную автоморфизмом Фробениуса и применил основную теорему теории Галуа.

[lena7]

xmaister
Я имела в виду так: неподвижное поле у $\langle f\rangle$ равно в точности $\mathbb F_p$, поэтому все автоморфизмы этим и исчерпываются.

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):

По второму: $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$, проективный предел.

Опять эти пределы . Я пытался разобраться с определением предела, то что в Маклейне, но так и не пришел к успеху. Можно ли это как-то сформулировать без всяких там диагональных функторов?

[lena7]

(Оффтоп)

Я мыслю проективный предел как "бесконечные цепочки прообразов" (для данной системы объектов и морфизмов), а прямой предел -- как фактор прямой суммы, такой что каждый элемент отождествляется со своим образом (интуитивно -- объединение). Морфизмы в проективной системе удобно мыслить как проекции, а в прямом -- как вложения.

Пример. Целые $p$-адические числа $\hat{\mathbb Z}_p$ -- это проективный предел системы групп $\ldots\xrightarrow{f_3}\mathbb Z_{p^3}\xrightarrow{f_2}\mathbb Z_{p^2}\xrightarrow{f_1}\mathbb Z_{p}$, где $f_i$ -- канонические проекции. То есть $p$-адические целые -- это бесконечные цепочки прообразов: $(\ldots,x_2,x_2,x_1)$, где $x_i\in \mathbb Z_{p^i}$ и $f_i(x_{i+1})=x_i$. Лучше понимается, если взять маленькое $p$ (скажем, $3$) и начинать строить такие цепочки.

Пример. Группа Прюфера $\mathbb Z_{p^{\infty}}$ (корни из единицы всевозможных степеней $p$) -- прямой предел системы, состоящей тоже из $\mathbb Z_{p^i}$, но морфизмы в другую сторону -- вложения, а именно умножение на $p$. Чтобы получить группу Прюфера, нужно взять прямую сумму всех $\mathbb Z_{p^i}$ и отождествить каждый элемент со своим образом (то есть, интуитивно, объединить все $\mathbb Z_{p^i}$). Лучше понимается, если думать корни из единицы как вершины многоугольников на еденичной окружности в $\mathbb C$.

[xmaister]

lena7
Не понимаю. Что такое проективная/прямая система? Эти 2 понятие дается только для групп или в произвольной категории? Маклейн дает определение предела диаграммы функтора:

Как по мне, это определение слишком общее и пользоваться им в народном хозяйстве наверное сложно. Я не представляю, как вычислисть

Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):

$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$

таким макаром.

-- 24.06.2013, 21:49 --

Прошу наводку по еще одной задаче. Пусть $f=x^{2n}+x^n+1\in\mathbb{F}_2[x]$. Нужно найти его $\mathrm{Gal}(f)$ при $n=3^k,k\in\mathbb{N}$.

[lena7]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #740035 писал(а):

Не понимаю. Что такое проективная/прямая система? Эти 2 понятие дается только для групп или в произвольной категории? Маклейн дает определение предела диаграммы функтора:

Лучше начинать с алгебры (группы, кольца...), а уже потом абстрагироваться до произвольных категорий, а не наоборот. Пределы групп рассмотрены, например, в Dummit--Foote (ещё есть в английской википедии). Их проще всего понять. Есть примеры, которые можно потрогать (два я уже привела). Почти дословно пределы групп переносятся на кольца и модули. Абстракция до произвольной категории получается рассмотрением универсального свойства прямого и обратного предела и закладывания его в определение. Маклейн вообще сложный, лучше его не читать раньше времени.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #740035 писал(а):

Прошу наводку по еще одной задаче. Пусть $f=x^{2n}+x^n+1\in\mathbb{F}_2[x]$. Нужно найти его $\mathrm{Gal}(f)$ при $n=3^k,k\in\mathbb{N}$.

Это круговой многочлен порядка $3^{k+1}$.