Бесконечное тензорное прозведение

[Chernoknizhnik]

Не знает ли кто, как эта штука аккуратно определяется?
Именно, имеем семейство модулей $M_i$ над кольцом $A$, $i\in I$ - семейство индексов (бесконечное). Как-то нужно определить, что же такое $\otimes_{i \in I} M_i$. А если $M_i$ - кольца над $A$, то как там умножение определять?

[lena7]

А аналогично конечному случаю нельзя? Рассмотрим категорию, где объектами будут мультилинейные отображения модулей $\prod_{i\in I}M_i\to N$ ($M_i$ фиксированы), морфизмы ясно какие. Универсальный объект $\otimes:\prod_{i \in I}M\to \bigotimes_{i\in I}M$ назовем тензорным произведением. Нужно доказать существование.

[Vince Diesel]

Произведение и копроизведение любого семейства объектов определяются в теории категорий. См., напр., Хелемский "Лекции по функциональному анализу", гл, 1. Судя по тому, что написано тут
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_категорий,
в категории Ring тензорное произведение это копроизведение.

[lena7]

Vince Diesel в сообщении #739432 писал(а):

Произведение и копроизведение любого семейства объектов определяются в теории категорий.

Определить-то можно, но никто не гарантирует существования (для произвольных объектов).

Vince Diesel в сообщении #739432 писал(а):

в категории Ring тензорное произведение это копроизведение.

В категории коммутативных колец -- да, копроизведение это $\otimes_\mathbb Z$. Для некоммутативных колец -- нет. Для модулей -- нет.

[Oleg Zubelevich]

полистал книжки по функану, ни где бесконечного тензорного произведения не нашел, даже у Бурбаков. Ввести, конечно, можно, только зачем?

[Chernoknizhnik]

С его помощью можно красиво построить алгебраическое замыкание поля!
(если $k$ - некоторое поле, а $\mathbb{K}_i$ - семейство всех его конечных расширений, то их тензорное произведений как $k$-алгебр, профакторизованное по максимальному идеалу вроде как и будет замыканием $k$).

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #739566 писал(а):

полистал книжки по функану, ни где бесконечного тензорного произведения не нашел, даже у Бурбаков.

Это стало популярным уже после. В физике они нужны для описания систем с бесконечным числом частиц. В учебнике Хелемского они действительно, кажется, тоже были. Как и во многих современных учебниках по банаховым и $C^*$-алгебрам.

-- 23.06.2013, 16:27 --

Посмотрел сейчас Хелемского, там все-таки этого нет.