о потоках вектора через поверхность, формуле Стокса и т.п.

[Oleg Zubelevich]

Есть две версии формулы Стокса. Одна более абстрактная в терминах дифференциальных форм, другая (следствие первой) ближе к физике, в терминах потоков вектора, дивергенци и т.д. У студента в голове иногда эти вещи существуют совершенно независимо, особенно если первую формулу рассказывали на матане-дифгеме, а другую в курсе физики. Целесообразно иметь описание этого всего в стандартном формализме дифференциальной геометрии.


Предположим на гладком многообразии $M,\quad \dim M=m$ введена форма объема $\omega=\rho(x)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m,\quad \rho(x)\ge 0$.
В частности, если в $M$ имеется риманова метрика $g_{ij}$ то с ней согласована форма объема у которой $\rho(x)=\sqrt g,\quad g=\det(g_{ij})$.

Пусть $N,\quad \dim N=m-1$ -- гладкое гипермногообразие в $M$, и $v(x)$ -- векторное поле в $M$.

Определение. Потоком поля $v$ через поверхность $N$ называется число $\pm \int _Ni_v\omega,$ где $i_v$ -- оператор гомотопии, знак перед интегралом ставится в зависимости от того, чего хочет этот физик.
При наличии метрики это определение превращается в привычное: под интегралом будет стоять единичный нормальный вектор к $N$ скалярно умноженный на $v$ и умноженный на элемент площади на $N$.

Предположим теперь дополнительно, что многообразие $N$ является границей некоторой ограниченной области $D\subset M,\quad \partial D=N.$

Тогда справедлива следующая версия формулы Стокса.

Теорема. $ \int _Ni_v\omega=\int_D L_v\omega,$ где $L_v$ -- производная Ли. Заметим, что $L_v\omega=\mathrm{div}(\rho v)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m.$

Что бы доказать эту формулу напомним формулу гомотопии: $di_v\psi+i_vd\psi=L_v\psi,$ где $\psi$ -- дифференциальная форма.

И так, $\int_N i_v\omega=\int _Ddi_v\omega=-\int_Di_vd\omega+\int_DL_v\omega.$ Остается заметить, что $d\omega=0$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #739077 писал(а):

Целесообразно иметь описание этого всего в стандартном формализме дифференциальной геометрии.

Невозможное не может быть целесообразным -- на физике эта теорема необходима не позднее третьего семестра, когда ни о каких внешних формах ещё не может быть речи в принципе. Тем более для специальностей, в которые эти формы вообще не вмещаются.

[olenellus]

Целесообразно для приведения в чувства тех студентов, у которых

Oleg Zubelevich в сообщении #739077 писал(а):

в голове иногда эти вещи существуют совершенно независимо, особенно если первую формулу рассказывали на матане-дифгеме, а другую в курсе физики.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #739077 писал(а):

Целесообразно иметь описание этого всего в стандартном формализме дифференциальной геометрии.

Целесообразно-то целесообразно, но вот это вот - ни в коем случае не стандартный формализм дифференциальной геометрии.

См. книгу Спивак М. Математический анализ на многообразиях, целиком посвящённую теореме Стокса (более общей), и рассказу о ней для студентов.

В частности, студент должен узнавать и понимать формулу $\int_M\partial\omega=\int_{\partial M}\omega.$ А вот "оператор гомотопии", например, напротив, далеко не общепринятое понятие и обозначение.

Update: замечена опечатка, читать $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.$

[olenellus]

Всё-таки оператор подстановки — вещь довольно общепринятая, а уж такое обозначение и подавно (бывает необщепринятое — с уголком).

[Munin]

Подстановки кого во что?

-- 21.06.2013 20:21:18 --

Посмотрел в любимых Oleg Zubelevich-евских Кобаяши, Номидзу. "Оператора гомотопии" там нет. Посмотрел в Математическую Энциклопедию. Ни "оператора гомотопии", ни даже "оператора подстановки" и там не нашёл (есть единственное вхождение термина "оператор гомотопии" в статье "Привелегированный компакт", совершенно непохожее на то, что здесь написано). С учётом того, что такое гомотопия, у меня что-то большие сомнения насчёт этого термина. Либо он вообще личное изобретение Oleg-а Zubelevich-а (по крайней мере, в этом контексте), либо настолько редко встречается, что о нём никто не знает (и википедия в том числе).

[olenellus]

вектора в $p$-форму

Он также называется внутренним произведением вектора на форму. Иногда обозначается как $v\scalebox{2}[1]{\rotatebox[c]{270}{\ensuremath\lnot}}\omega$.

$$\begin{matrix}i_v\colon \Lambda^pM\to\Lambda^{p-1}M\\ i_v\omega(v_1,\ldots,v_{p-1})=\omega(v,v_1,\ldots,v_{p-1}),\;\forall v_1,\ldots,v_{p-1}\in TM\end{matrix}$$

Можно ввести аксиоматически:

$$\begin{matrix} i_v\;\textrm{--- это антидифференцирование}\\ i_vf=0,\;\forall f\in\Lambda^0M\\ i_vdx^i=v^i \end{matrix}$$

Под названием "оператор гомотопии" я этот оператор увидел в этой теме впервые.

-- Пт июн 21, 2013 18:24:42 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #739148 писал(а):

$\int_M\partial\omega=\int_{\partial M}\omega.$

У Вас, кстати, опечатка.

[Munin]

olenellus в сообщении #739215 писал(а):

Он также называется внутренним произведением вектора на форму.

А, ясно.

olenellus в сообщении #739215 писал(а):

У Вас, кстати, опечатка.

Да, верно, разумеется, $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.$ Мне не повезло: именно в этом месте в русском издании Спивака тоже опечатка :-) В соседних строках всё нормально.

[svv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #739184 писал(а):

Кобаяши

Хм, Вы, оказывается "сушист", не "сусист". Однозначно, это Ваша позиция (в русском переводе, конечно, Кобаяси). Но почему?

[g______d]

olenellus в сообщении #739215 писал(а):

Можно ввести аксиоматически:

$$\begin{matrix} i_v\;\textrm{--- это антидифференцирование}\\ i_vf=0,\;\forall f\in\Lambda^0M\\ i_vdx^i=v^i \end{matrix}$$

Можно еще проще: это антидифференцирование со свойством $\iota_v(df)=v(f)$, где $f$ – функция, а $v(f)$ – действие векторного поля на функцию (дифференцирование).

-- 22.06.2013, 04:39 --

ewert в сообщении #739097 писал(а):

Невозможное не может быть целесообразным -- на физике эта теорема необходима не позднее третьего семестра, когда ни о каких внешних формах ещё не может быть речи в принципе. Тем более для специальностей, в которые эти формы вообще не вмещаются.

Бывают физические факультеты, на которых дифференциальные формы читаются в 3 семестре.

[Munin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #739357 писал(а):

Хм, Вы, оказывается "сушист", не "сусист". Однозначно, это Ваша позиция (в русском переводе, конечно, Кобаяси). Но почему?

Ничего подобного. Я просто неправильно запомнил. Был уверен, что на русском издании было написано Кобаяши, почему-то.

Моя позиция на эту тему другая, более сложная. Если интересуетесь лингвистическими тонкостями, расскажу.

Из раздела юмора: в русском издании автора назвали Шосичи Кобаяси.

g______d в сообщении #739359 писал(а):

Бывают физические факультеты, на которых дифференциальные формы читаются в 3 семестре.

Это где такое счастье?

[g______d]

Munin в сообщении #739376 писал(а):

g______d в сообщении #739359 писал(а):

Бывают физические факультеты, на которых дифференциальные формы читаются в 3 семестре.

Это где такое счастье?

Насколько мне известно, на физфаке СПбГУ такое есть. Может быть, в каких-то других местах тоже.

[lena7]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Не знаю, что там целесообразно, общепринято и что в каких семестрах изучают, но лично мне указанная интерпретация теоремы Стокса понравилась. Особенно с таким элементарнейшем доказательством. Спасибо, что рассказали.

P. S. Я тоже впервые вижу, чтобы внутреннее произведение называли оператором гомотопии.

[g______d]

Ну, формально говоря, отображение $\iota_v$ является цепной гомотопией между производной Ли и нулевым отображением (оба отображения действуют на дифференциальные формы).

Определение цепной гомотопии можно посмотреть, например, здесь

http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_c ... _complexes

Если говорить о том, откуда это появилось (по крайней мере как я это понимаю): мы знаем, что гомотопные отображения (в топологическом смысле) индуцируют одинаковые отображения на гомологиях и когомологиях. Это следует из того, что если два отображения гомотопны, то разность соответствующих отображений на цепях представима в некотором виде (см. ссылку). А отображения, представимые в таком виде, одинаково действуют на гомологии. Т. е. цепная гомотопия – это алгебраический аналог обычной гомотопии. Про это есть целая наука, гомотопическая алгебра.

Если возвращаться к производной Ли, то утверждение говорит, что это отображение на формах алгебраически гомотопно нулевому и, следовательно, индуцирует нулевое отображение на когомологиях де Рама.

[Oleg Zubelevich]

вот это, кстати, можно предложить в качестве задачи:

Oleg Zubelevich в сообщении #739077 писал(а):

При наличии метрики это определение превращается в привычное: под интегралом будет стоять единичный нормальный вектор к $N$ скалярно умноженный на $v$ и умноженный на элемент площади на $N$.

по поводу терминологии: http://ncatlab.org/nlab/show/Cartan%27s ... py+formula