о потоках вектора через поверхность, формуле Стокса и т.п.

[Munin]

g______d
Спасибо большое!

g______d в сообщении #739470 писал(а):

Про это есть целая наука, гомотопическая алгебра.

Можете порекомендовать список статей Википедии о её основных понятиях и определениях, кроме той, которую вы рекомендовали? И/или какую-нибудь простую вводную/обзорную статью из других источников.

[g______d]

Munin в сообщении #739510 писал(а):

Можете порекомендовать список статей Википедии о её основных понятиях и определениях, кроме той, которую вы рекомендовали? И/или какую-нибудь простую вводную/обзорную статью из других источников.

Это лучше спросить у apriv.

[Oleg Zubelevich]

Следующая остановка. Весьма важная для УРЧП формула интегрирования по частям.

Как и выше $D\subset M$ -- ограниченная область в многообразии $M$, $v$ -- векорное поле определенное в области $D$ и на ее границе, $\omega$ -- форма объема в $M$.

Теорема. Предположим, что $L_v\omega=0$. Тогда для любых гладких функций $f,g$ верна следующая формула

$$\int_D(L_vf)g\omega=\int_{\partial D}fgi_v\omega-\int_D(L_vg)f\omega.$$

Техника доказательства таже, чтио и выше.
С помощью стандартного предельного перехода формула обобщается до случая $f,g\in H^1(D)$.

[Munin]

Oleg Zubelevich перестал реагировать на окружающую обстановку...

[Toucan]

Munin, замечание за личные выпады.

[Oleg Zubelevich]

Еще разъяснение к этой формуле :

Oleg Zubelevich в сообщении #739077 писал(а):

Заметим, что $L_v\omega=\mathrm{div}(\rho v)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m.$

1)
напишем ее подробнее:

$$L_v(\rho dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m)=\frac{\partial }{\partial x^i}(\rho v^i)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m.$$

Это верно во всех системах координат.

Предположим на многообразии $M$ задана риманова метрика и соответственно $\rho=\sqrt g$. Введем обозначение $\mathrm{div}_g w=\nabla_iw^i$ -- это уже стандартная дивергенция векторного поля , построенная по метрике.
Как известно, $\mathrm{div}_g\,v=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}v^i).$
Таким образом, окончательно получаем

$$L_v(\sqrt g dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m)=\mathrm{div}_g\,v \sqrt g dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$$

как и полагается, дивергенция векторного поля умножить на элемент объема.

2) На самом деле форма $\sqrt g dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$ является аксиальным тензором.