Ортогональные траектории

[ИСН]

(Оффтоп)

Да. Один. Думайте, конечно. Для этого форум и существует. А то иные заскочат на секунду, "ПОМОГИТЕ СРОЧНО" - и дальше побежал. От этого толку нет. А от подумать толк есть.

[ewert]

rabbit-a в сообщении #738857 писал(а):

Что-то видимо совсем простое,

Да, совсем. Вам надо всего лишь выписать уравнение исходного семейства (включающее произвольный параметр, естественно), потом тупо выписать для этого семейства условие ортогональности (что Вы, собственно, и пытались делать, только некстати) -- а потом просто исключить параметр из системы этих двух уравнений.

[rabbit-a]

Уравнение, задающее семейство эллипсов с большой осью $2a:\ C_1y^2+\frac{x^2}{a^2}=1, C_1>0$

Выразим отсюда $C_1(x,y)=\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)y^{-2}$

Продифференцируем уравнение семейства эллипсов по $\Ds x:\quad 2C_1yy’+\frac{2x}{a^2}=0; $

Используя найденное значение $C_1$ исключим из дифференциального уравнения константу $C_1:$

$\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)y^{-2}yy’=-\frac{x}{a^2}; \ y’=\frac{xy}{x^2-a^2}$ -- дифференциальное уравнение, описывающее семейство нужных нам эллипсов.

Записываем условие ортогональности: $ -\frac{1}{y’}=\frac{xy}{x^2-a^2}$

Решая это дифференциальное уравнение, находим:

$\int y dy =-\int\frac{(x^2-a^2)dx}{x};\ \frac{y^2}{2}=-\left(\frac{x^2}{2}-a^2\ln|x|-a^2\ln|C|\right)$

$y^2+x^2=2a^2\ln|x|+2C;$ или $y^2+x^2=2a^2\ln |Cx|;$

Теперь даже с ответом сходится! Большое Вам спасибо!. Ewert подсказал мне в явном виде, но, может это и к лучшему, потому что я пробовал исключить константу из диф. уравнения, но напутал при интегрировании -- у меня получилась что-то совсем не то и по графику было видно, что траектория не ортогональна и я мог бы не вернуться к правильной мысли.

Можно еще три вопроса «на десерт»:

1. Потерянная траектория это, наверное $y=0,$ ведь ось $(Ox)$ пересекает эллипсы в точках $(-a;0)$ и $(a;0)$ и касательные в этих точках перпендикулярны к оси (Ox). Верно?

2. А вот первое решение дает семейство траекторий ортогональных к эллипсам, без учета условия «большая ось равна 2а»? Так? Если так, то все такие траектории должны включать и траектории $ y^2+x^2=2a^2\ln |Cx|;$ как частный случай (хотя, с другой стороны, дифференциальное уравнение, где исключено С не является частным случаем диффура, описывающего эллипсы без условия «большая ось равная 2а» ), но в первоначальном (неправильном варианте) графиками являются степенные функции (быстро растущие параболы), а здесь ортогональные траектории представляют собой замкнутые линии. Или я не прав, это не частный случай?

3. Нужно ли еще возиться с условием $\Ds a>\frac{1}{\sqrt{C}}$ которое выражает что большей осью будет 2а?

http://picture-host.ru/v.php?id=b057f6dc5b260f13cc678e5098a22255

[ИСН]

По-моему, это какая-то езда через Мытищи в Бирюлёво.
После слов "Выразим отсюда" должно было идти примерно следующее:
...то есть фактически приведём уравнение семейства эллипсов к виду $C=\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)y^{-2}$, а теперь прямо в таком виде продифференцируем его по x - и ВНЕЗАПНО получим диффур, из которого не надо исключать константу, потому что она сама уже куда-то убралась!
Диффур, естественно, тот же самый.

-- менее минуты назад --

По остальным вопросам:
1. Кажется, да. Выбор x и y неудачный, надо было наоборот.
2. Первое решение не имеет смысла и не даёт ничего. Эллипсов без условия - слишком много. Сколько их проходит через каждую точку? Сколько угодно. В каких направлениях? В каких угодно. Значит, под каким углом там должна проходить ортогональная траектория? Под каким угодно. Вы ищете кривую, которая в каждой точке проходит под каким угодно углом? Это любая кривая.
3. Как хотите. Оно ничего не меняет, только вырезает что-то где-то.

[ewert]

rabbit-a в сообщении #739009 писал(а):

1. Потерянная траектория это, наверное $y=0,$ ведь ось $(Ox)$ пересекает эллипсы в точках $(-a;0)$ и $(a;0)$ и касательные в этих точках перпендикулярны к оси (Ox). Верно?

Верно с точностью до наоборот. В этих точках все эллипсы семейства смыкаются и потому говорить об ортогональных траекториях бессмысленно. Потеряна же тривиальная траектория $x=0$.

rabbit-a в сообщении #739009 писал(а):

3. Нужно ли еще возиться с условием $\Ds a>\frac{1}{\sqrt{C}}$ которое выражает что большей осью будет 2а?

Это условие вовсе не размер оси выражает, а то, что при его нарушении полученное равенство просто задаёт пустое множество (если Вы это условие правильно выписали -- не проверял). Оговорка же "большая ось" в исходном условии задачи ровным счётом ничего не отражает и приведена была, скорее всего, лишь по рассеянности; следовало сказать что-нибудь вроде "горизонтальная ось".

-- Пт июн 21, 2013 11:35:24 --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #739018 писал(а):

, это какая-то езда через Мытищи в Бирюлёво.

А это смотря откуда. Что, если мы едем из Замытищья?...

[rabbit-a]

ИСН, спасибо большое, да Вы конечно правы, нужно было в таком виде диффференцировать, исправлю. Со вторым пунктом вообщем-то понятно.
Ewert, спасибо большое. Правда, я не понял почему условие $a>C^{-1/2}$ не влияет на размер осей. Я думал, что за размер осей эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ отвечает соотношение a, b. Здесь $b=C^{-1/2}$ ну да, ладно, действительно на задаче это не скажется. А вот 1) очень полезно, значит там где траектории смыкаются, об ортогональных траекториях говорить бессмысленно (даже если всего две смыкаются, наверное) - я запомню.

[ewert]

rabbit-a в сообщении #739249 писал(а):

Правда, я не понял почему условие $a>C^{-1/2}$ не влияет на размер осей.

Да у Вас просто путаница в обозначениях. Вы явно имели в виду вовсе не $C$, а $C_1$ (в Ваших же обозначениях). Тогда да, конечно; однако на траектории как таковые это ограничение ни разу не влияет. А на $C$ как на параметр возможных ортогональных траекторий ограничение действительно есть, но совсем другое. Стоит ли это ограничение обсасывать в ответе -- вопрос философский.

[ИСН]

rabbit-a в сообщении #739249 писал(а):

там где траектории смыкаются, об ортогональных траекториях говорить бессмысленно

Почему бессмысленно-то? Если через эту точку проходит целый пучок траекторий, причём все под одним углом - кто мешает нам провести нечто под иным углом, перпендикулярно?
Проблема с $y=0$ не в этом, а в том, что она не определена нигде, кроме этих двух точек. Между ними она не пересекает ни один эллипс, а потому нет оснований называть её ортогональной. Та же фигня и за пределами отрезка.

[ewert]

ИСН в сообщении #739285 писал(а):

Та же фигня и за пределами отрезка.

За пределами отрезка -- никакой фигни. Там найденные траектории не менее ортогонально пересекают соотв. гиперболы и вертикальные прямые -- соответствующие другим значениям исходной $C$, не ограниченным условиям на полуось. И продолжения горизонтальной оси за пределы отрезка они пересекают не менее благоразумно.

[ИСН]

А, ну да, про гиперболы я не подумал. Хотя это как посмотреть: в условии нас ведь явным образом спрашивали про эллипсы? Тогда ограничение остаётся в силе.

-- менее минуты назад --

Что Вы мне втираете за продолжения? Все гиперболы пересекают ось x в одной паре точек - там же, где все эллипсы! Ни между, ни дальше её никто не пересекает. Я был прав.

[ewert]

ИСН в сообщении #739311 писал(а):

Хотя это как посмотреть: в условии нас ведь явным образом спрашивали про эллипсы? Тогда ограничение остаётся в силе.

В условии нас ещё хуже того спрашивали -- про лишь половину типа эллипсов. Что совершенно бессмысленно с точки зрения собственно траекторий. Ну ляпнули сдуру, ну с кем не бывает.