Ортогональные траектории

[rabbit-a]

Уважаемые математики, не могли бы Вы проверить правильность решения.

Речь идет о номере № 4142 из задачника Бермана Г.Н.

Найти траектории, ортогональные эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 2а.

Решение

Напишем уравнение заданных эллипсов $\Ds y^2+\frac{x^2}{a^2}=1;$

Продифференцируем уравнение по аргументу $x,$ считая $y=y(x):$

$\Ds 2yy’+\frac{2x}{a^2}=0;$ заменяем $y’$ на $\Ds -\frac{1}{y’};$

$\frac{-2y}{y’}=-\frac{2x}{a};\ \frac{dy}{dx}=\frac{ya^2}{x};\ \int \frac{dy}{y}=a^2\int \frac{dx}{x};$

$\ln |y|=a^2\cdot \ln |x|+\ln|C_1|;\ y=x^{a^2}C;$


В общем-то мне кажется решение верным, т.к. я посчитал угол между касательными в выбранной точки и он получился 90 градусов (точнее скалярное произведение направляющих векторов равно нулю) и по картинке похоже, но смущает, что в ответе, приведен совершенно непохожий ответ: $x^2+y^2=2a^2\ln|Cx|$

[ИСН]

rabbit-a в сообщении #737496 писал(а):

Напишем уравнение заданных эллипсов $\Ds y^2+\frac{x^2}{a^2}=1;$

Это не уравнение заданных эллипсов.
Это уравнение одного эллипса (ведь a у нас дано).
Дальше не читал.

[rabbit-a]

Ага, тогда еже ли я напишу $Cy^2+\frac{x^2}{a^2}=1,$ где $C=const$ то будет уже семейство нужных эллипсов и дальше нужно проделать аналогичные выкладки, так?

[ИСН]

Как-то так, да.

[iifat]

Условие о том, что $2a$ — большая ось, накладывает ещё мелкое уточнение.

[ewert]

На траектории как таковые не накладывает, оно их просто обрезает. Кстати, в том ответе одна траектория потеряна.

[rabbit-a]

Уважаемый iifat, Вы имеете ввиду условие $2a>\frac{1}{\sqrt{C}}$. Его нужно добавить, но на решение оно как-то будет влиять? Или еще какое-нибудь ограничение есть?

Уважаемый ewert, можно полюбопытствовать в каком ответе потеряна одна траектория, который в учебнике приведен, или который получился в этом топике? И честно говоря, пока не могу сообразить какая именно?

Исправляю решение:

Напишем уравнения заданных эллипсов $\Ds Cy^2+\frac{x^2}{a^2}=1;$

Продифференцируем уравнение по аргументу $x,$ считая $y=y(x):$

$\Ds 2Cyy'+\frac{2x}{a^2}=0;$ заменяем $y'$ на $\Ds -\frac{1}{y'};$

$\frac{-2Cy}{y'}=-\frac{2x}{a};\ C\frac{dy}{dx}=\frac{ya^2}{x};\ C\int \frac{dy}{y}=a^2\int \frac{dx}{x};$

$C\ln |y|=a^2\cdot \ln |x|+\ln|C_1|;\ y^C=x^{a^2}C_1;$ здесь C -- коэф. отвечающий за растяжение эллипсов вдоль оси $(OY),$ а $C_1$ -- коэф. образующий семейство ортогональных траекторий. Но с ответом все равно не сходится!

Если нужно - сейчас поучусь вставлять изображения и могу привести пример, в частном случае.

[ИСН]

Вы кое-что знаете о диффурах. Возьмём, например, такой совершенно случайный диффур: $2Cyy'+\frac{2x}{a^2}=0$. Можете его решить? Что он задаёт? Какое семейство кривых?

[rabbit-a]

$2Cyy'+\frac{2x}{a^2}=0$

$2C\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{a^2}$

$2C\int y dy=-\frac{2}{a^2}\int x dx$

$Cy^2+\frac{x^2}{a^2}=C_1$

Можно разделить на $C_1\neq 0$

и получится уравнение семейства эллипсов, правда у них большая ось будет не 2а, а $2a\sqrt{C}$.

Может быть, нужно определить константу $C_1$ из условия, что большая ось равна $2a$?

[ИСН]

Может. Но непонятно, как это транслировать на язык уравнения - ведь в нём нет никакой $C_1$! Вы видели такие диффуры, в которых условие содержит приписку "когда будешь решать и обозначишь какую-то вещь через $C_1$, знай - она равна тому-то"? Я - нет.
Может быть, лучше попробовать всё-таки найти уравнение, которое описывает именно нужные нам эллипсы?

[rabbit-a]

А если задать начальное условие, ну например $y(1)=\sqrt{\left(1-\frac{1}{a^2}\right)C^{-1}}$

тогда разве мы не выделим нужное семейство эллипсов?

Да, еще я подумал, что должны быть ограничения: C>0, a>1, иначе это могут быть и параболы и гиперболы или пустое множество.

[ИСН]

Может и выделили бы, но как это условие, в свою очередь, транслируется на язык другого уравнения - которое для ортогональных кривых? Никак! Они-то не обязаны проходить через ту точку. Их начальное условие нам неизвестно.
С другой стороны, нам не нужно никакое начальное условие. Вот точка $(x,y)$; сколько через неё проходит наших эллипсов? Да один же. Можем мы найти его производную в этой точке? Фигня вопрос. Ну а дальше всё по книге - перпендикулярная производная, новый диффур, его решение...

[rabbit-a]

т.е. мне нужно выразить $y$ в явном виде от $x$, потом его продифференцировать, а дальше по алгоритму?

[ИСН]

Не совсем.
Не хочу прямо говорить. Ну, как ещё. Вот точка $(x,y)$. (Ах чёрт, это я уже говорил.) Какая в ней производная? Какая-то. Какая-то одна, конкретная. Можете её найти?

-- менее минуты назад --

Ну и с обратной стороны намёк для подумать: что это за диффур там у нас получался? $2Cyy'+\frac{2x}{a^2}=0$, так? Но что такое C? Число? Какое? Любое? Так это не диффур, что ли, а целое семейство диффуров, выходит? Зачем они нам? Нельзя ли как-то всё-таки выразить все наши эллипсы одним диффуром?

[rabbit-a]

(Оффтоп)

Что-то видимо совсем простое, извините за тупость. Давайте я еще подумаю до завтра. Значит, я ищу один дифур, описывающий все эллипсы с большой осью 2a.