Восстановление векторных сомножителей

[serval]

Xaositect, похоже на то.
Только вместо $\vec v(n)$ у меня $\vec C_{(n)}^k$ - строка треугольника Паскаля, и я пытаюсь использовать уравнение $A \vec C_{(n)}^k=\vec C_{(n+1)}^k$ где известен явный вид матрицы $A$.

[Xaositect]

serval в сообщении #739129 писал(а):

Только вместо $\vec v(n)$ у меня $\vec C_{(n)}^k$ - строка треугольника Паскаля

Это та же кривая в другой системе координат.

$A$ же будет $\left(\begin{matrix}1& 0 & 0\\1& 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$?

[serval]

Да.
А треугольник, строки которого в скалярном произведении со строками треугольника Паскаля дают числа $x^n$ можно построить с помощью матрицы

$\left( \begin{matrix} 1&0&0\\1&2&0\\0&2&3 \end{matrix} \right)$

т.е., на двух ее диагоналях стоит уже не 1-й столбец треугольника Паскаля, а 2-й. Что сразу приводит к желанию построить следующий треугольник из 3-го столбца - и так далее.
А это дает два результата:
1. Произведения строк различных треугольников дают все натуральные числа среди которых содержатся и простые (все ли и как распределены - пока не выяснено).
2. Каждому натуральному числу, включая (по крайней мере некоторые) простые можно сопоставить точку (в общем случае комплекс точек) в 4-мерном пространстве - где координатами являются номера треугольников которым принадлежат перемножаемые строки и номера этих строк каждой в своем треугольнике.
Особенно интересно было бы посмотреть на трехмерные сечения распределения простых чисел.

[Aritaborian]

serval, Эварист Галуа и Феликс Клейн давно доказали всё, что относится к уравнениям пятой степени и выше. Что нового вы намерены привнести?

[serval]

Aritaborian в сообщении #739164 писал(а):

Что нового вы намерены привнести?

Галуа и Клейн были намерены привносить или им было просто интересно?

[Aritaborian]

Им было интересно ;-) Вам, полагаю, тоже. Но вы должны понять: эта область перепахана вдоль и поперёк. Ничего нового вы не выкопаете.

[sergei1961]

"Этой областью" продолжали и продолжают заниматься очень многие. Если Вы остановились на Галуа и Клейне, то просто многого не знаете.

[serval]

serval в сообщении #739177 писал(а):

Но вы должны понять: эта область перепахана вдоль и поперёк.

Я хорошо это понимаю и ни в коем случае не намерен ниспровергать основы. Мне интересно посмотреть - не даст ли переформулирование теоретико-числовых методов на линейно-алгебраический язык каких-нибудь полезных результатов.
К слову, один математик так и спросил - как вы сумели это найти в такой перепаханной области?

-- Вс июн 23, 2013 14:23:20 --

sergei1961 в сообщении #739535 писал(а):

Ничего нового вы не выкопаете.

Пока я выкопал числа которых не нашел в литературе, я говорил о них выше. Их можно выразить через числа Стирлинга второго рода, а можно (как и для треугольника Паскаля) вычислять с помощью рекуррентной формулы

$D(n+1,k+1)=kD(n,k)+(k+1)D(n,k+1)$

а можно (как и для треугольника Паскаля) с помощью линейного оператора

$A_2=\left( \begin{matrix} 1&0&0&\ldots\\1&2&0& \\0&2&3& \\ \vdots& & &\ddots \end{matrix} \right)$

а можно (как и для треугольника Паскаля) задавать значения каждого столбца функцией номера строки.

[serval]

В случае квадратного уравнения все оказывается довольно просто.
Продолжу на том же примере.
Мы получили вектор нормали плоскости $\vec n=(7,-4,1)$ в которой лежат строки треугольника Паскаля с номерами равными корням исходного уравнения $\vec x_1=(1,2,1)$ и $\vec x_2=(1,7,21)$ где $x_1=3$ и $x_2=8$.
По вектору нормали построим векторы лежащие в той же плоскости, что искомые строки:

$\vec a=(4,7,0),\ \vec b=(-1,0,7),\ \vec c=(0,1,4)$

Но каждую искомую строку можно разложить по любым двум из этих векторов. К тому же, комбинация их первых координат должна дать $\b 1$. Получим это значение (первую компоненту искомых строк) комбинируя полученные векторы:

$\vec a+3\vec b=(1,7,21)$

$\frac{1}{4}\vec a+\frac{1}{4}\vec c=(1,2,1)$

В результате мы получили искомые строки треугольника Паскаля, а значит и корни исходного уравнения.

[svv]

Очень хорошо.
Напомню, что у Вас есть, если что, и явные формулы для нахождения номеров исходных строк по компонентам векторного произведения:
$m=\frac {1-z}2 - \frac y z$
$n=\frac {1+z}2 - \frac y z$
Опробуем их на Вашем примере. Векторное произведение (если не делить на $5$) равно $(35, -20, 5)$, т.е. $y=-20, z=5$. Отсюда $m=2, n=7$, т.е. то же, что у Вас, учитывая, что моя нумерация сдвинута на $1$ (кстати, очень удобно: компонента $y$ вектора $p_n$ равна $n$).
Найдем сами векторы.
$p_m=\left(1, m, \frac {(m-1)m}2\right)=(1, 2, 1)$
$p_n=\left(1, n, \frac {(n-1)n}2\right)=(1, 7, 21)$

[serval]

svv в сообщении #740081 писал(а):

у Вас есть, если что, и явные формулы для нахождения номеров исходных строк по компонентам векторного произведения

Я помню, спасибо за них. Но у меня нет явных формул для более высоких степеней. А для 5-й и выше - гарантированно не будет. Но как поведет себя в этой ситуации условие на первую единицу - неизвестно, нужно посмотреть.