x^{-x}=4. Есть ли корни у уравнения?

[marij]

Извините дружище но тут вам никто не ответил по существу.Так всегда по жизни ла ла ла делают

[Otta]

(Оффтоп)

marij в сообщении #738977 писал(а):

Извините дружище но тут вам никто не ответил по существу.Так всегда по жизни ла ла ла делают

"Правило Арнольда применимо к нему самому". Навеяло.

[marij]

Да да спасибо за совет

-- 21.06.2013, 04:04 --

Насколько все ожидаемо в этой стране

-- 21.06.2013, 04:06 --

svv

[Deggial]

marij, предупреждение за бессодержательные сообщения.

[arseniiv]

lampard в сообщении #738951 писал(а):

А как принято определять?

Этого как раз и не знаю; сам предпочитаю наиболее широко определённое возведение в степень. С упомянутыми svv «кочками посреди болота».

[ewert]

arseniiv в сообщении #739095 писал(а):

предпочитаю наиболее широко определённое возведение в степень. С упомянутыми svv «кочками посреди болота».

Так показательную функцию никто не определяет -- всегда подразумевается, что её основание положительно.

[svv]

А где здесь показательная функция? Показательная функция -- это $f(x)=a^x$, рассматриваемая для фиксированного $a$. Здесь бинарная операция возведения в степень, у неё основание может быть и отрицательным.

[marij]

Мне тоже кажется естественным это скорее степенно-показательная и тут и определение степени и определение показательной функции должны как-то расширять область применимости

[lampard]

То есть можно назвать $x=-2$ корнем уравнения, получается? А реально его найти только графически?

[svv]

WolframAlpha его находит:
x^(-x)=4
(в пункте Integer solution)

[sergei1961]

Вроде прогрессивное человечество определилось давно с подобными ОДЗ. Варианта только два.
1. У всех степеней основания только положительные. Тогда всё можно строго определить, даже для школы. Но возникают противоречия со здравым смыслом, например $x^3=-8$ нельзя решить извлечением корня, только разложением на множители. Меня так и учили по учебнику Колмогорова.
2. Основания можно любые разумные. Тогда в принципе невозможно обоснование простейших свойств степеней и корней без логических ошибок и обмана до введения многозначных функций и комплексных чисел.
3. Третьего пути нет.
Что-то придумали здесь новенького?

[Aritaborian]

ТФКП тут придумали. Там, правда, получаются ветви, разрезы и поверхности Римана.

[sergei1961]

ТФКП-это не комплексные числа и многозначные функции? Вопрос был-какие ЕЩЁ возможны определения.

[Foreman Jay]

sergei1961 в сообщении #739534 писал(а):

ТФКП-это не комплексные числа и многозначные функции? Вопрос был-какие ЕЩЁ возможны определения.

$(G, \cdot)$ -- группа. Вводим операцию возведения в степень:

$$ g \in G, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow g^n := \begin{cases} \underbrace{g \cdot \hdots \cdot g}_{\text{n раз}}, &\text{если n>0;} \\ e, &\text{если n=0;} \\ \underbrace{g^{-1} \cdot \hdots \cdot g^{-1}}_{\text{-n раз}}, &\text{если n<0.} \end{cases} $$

Годное для школьников определение, по которому, если считать Ваш $x \in \mathbb{Z}$, имеет единственное решение.

[arseniiv]

Или так:

$$g \in G, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow g^n := \begin{cases} \underbrace{g \cdot \hdots \cdot g}_{n \text{~раз}}, &\text{если~} n>0; \\ e, &\text{если~} n=0; \\ \underbrace{g^{-1} \cdot \hdots \cdot g^{-1}}_{-n \text{~раз}}, &\text{если~} n<0. \end{cases}$$

(Правда, $g\in G$ как-то контрастирует с использованием $e$ и ${}^{-1}$, нигде не определённых. $\cdot$-то входит в сигнатуру группы, а остальные нигде не определены — с какой стати они должны относиться именно к группе $(G, \cdot)$, а не к какой-нибудь другой [с тем же носителем]? Если бы было по одной группе каждого порядка, $e\in G$ и ${}^{-1}\colon G\to G$ можно было бы восстановить однозначно, а так — нет!)