Полусферу можно разбить на конечное количество таких полосочек, как эта зелёненькая:
![Изображение](http://s47.radikal.ru/i118/1306/82/4c260b9f5e4f.jpg)
Заметьте, что к экватору эта полосочка делается шире, а к южному полюсу уже.
Её "ширина" пропорциональна
![$\sin\theta$ $\sin\theta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/2/4f2a141686c7c2a5c2ab6355a39acd3c82.png)
, где
![$\theta$ $\theta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/e/27e556cf3caa0673ac49a8f0de3c73ca82.png)
-- "зенитный" угол сферической системы координат. При
![$\theta=\pi/2$ $\theta=\pi/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/7/b376e5ceb533dee53f8391386c90a26482.png)
(экватор) получаем максимум, при
![$\theta=\pi$ $\theta=\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/d/6addb353740f85c826d1cd57fb06215882.png)
(южный полюс) -- минимум, нуль.
Полусферу можно разбить на огромное количество таких полосочек, скажем, миллиард. Каждая из них, если её взять в руки, будет неотличима от полуокружности. Но и в этом случае крохотная ширина полосочки, почти ниточки, будет пропорциональна
![$\sin\theta$ $\sin\theta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/2/4f2a141686c7c2a5c2ab6355a39acd3c82.png)
. И, скажем, при отыскании площади это проявляется в том, что кусок полосочки у экватора даёт больший вклад в площадь, чем такой же по длине кусок у полюса (ширины-то разные). То же при нахождении центра масс.
В пределе каждая полосочка становится полуокружностью. У кривых уже нет толщины. Но при правильном переходе к пределу от былого неравенства разных частей полосочки ("экваториальные части дают больший вклад") в интеграле остаётся некий след, память. Эта память называется "якобиан". Он как раз имеет вид
![$\sin\theta$ $\sin\theta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/2/4f2a141686c7c2a5c2ab6355a39acd3c82.png)
. Вы можете его видеть в интегралах по сфере в сферических координатах.
Теперь видно, что если это заменить кучей полуокружностей, это будет совсем не то. Из сказанного можно понять, что центр масс полусферы будет ближе к её центру, чем центр масс полуокружности того же радиуса к её центру.