Центры масс полусферы и полуокружности

[Lise]

Привет милым математикам.
Есть ли у вас какие-нибудь идеи по поводу того факта, что центры масс полуокружности и полусферы не совпадают? Мне он кажется довольно странным, ведь полусфера состоит из устремленного в бесконечность числа полуокружностей.

[arseniiv]

А почему не рассечёте полусферу на окружности?

[ИСН]

Полусфера не состоит из полуокружностей. Как это у Вас получается?

[arseniiv]

Наверно, зонтиком.

[iifat]

В такой постановке — не более чем то, что центр масс равностороннего треугольника не совпадает с центром масс, скажем, детского кубика.
А вот если не поленитесь тщательно и аккуратно — непременно тщательно и аккуратно, не то замучаетесь крошки убирать — разрезать полусферу на бесконечное число полуокружностей, построить их центры масс, и посчитать центр масс получившейся фигуры (с учётом различных масс получившихся окружностей) — как говорилось в старом фильме, "Клара, сейчас ты разинешь клюв от изумления!"

[svv]

Полусферу можно разбить на конечное количество таких полосочек, как эта зелёненькая:

Заметьте, что к экватору эта полосочка делается шире, а к южному полюсу уже.
Её "ширина" пропорциональна $\sin\theta$, где $\theta$ -- "зенитный" угол сферической системы координат. При $\theta=\pi/2$ (экватор) получаем максимум, при $\theta=\pi$ (южный полюс) -- минимум, нуль.

Полусферу можно разбить на огромное количество таких полосочек, скажем, миллиард. Каждая из них, если её взять в руки, будет неотличима от полуокружности. Но и в этом случае крохотная ширина полосочки, почти ниточки, будет пропорциональна $\sin\theta$. И, скажем, при отыскании площади это проявляется в том, что кусок полосочки у экватора даёт больший вклад в площадь, чем такой же по длине кусок у полюса (ширины-то разные). То же при нахождении центра масс.

В пределе каждая полосочка становится полуокружностью. У кривых уже нет толщины. Но при правильном переходе к пределу от былого неравенства разных частей полосочки ("экваториальные части дают больший вклад") в интеграле остаётся некий след, память. Эта память называется "якобиан". Он как раз имеет вид $\sin\theta$. Вы можете его видеть в интегралах по сфере в сферических координатах.

Теперь видно, что если это заменить кучей полуокружностей, это будет совсем не то. Из сказанного можно понять, что центр масс полусферы будет ближе к её центру, чем центр масс полуокружности того же радиуса к её центру.

[Lise]

arseniiv в сообщении #738289 писал(а):

Наверно, зонтиком.

Кстати, да, вопрос родом оттуда. У зонта спицы (суть полуокружности) соединяются выше середины стержня, которая является центром масс "купола" зонта (суть полусферы).

-- 19.06.2013, 19:44 --

ИСН в сообщении #738283 писал(а):

Полусфера не состоит из полуокружностей. Как это у Вас получается?

Я не так выразилась, простите. Имела в виду вращение полуокружности вокруг оси, протыкающей ее посередине и перпендикулярно касательной в этой середине. Зонт, короче.

-- 19.06.2013, 19:46 --


-- 19.06.2013, 19:48 --

svv в сообщении #738326 писал(а):

Полусферу можно разбить на конечное количество таких полосочек, как эта зелёненькая:

Заметьте, что к экватору эта полосочка делается шире, а к южному полюсу уже.
Её "ширина" пропорциональна $\sin\theta$, где $\theta$ -- "зенитный" угол сферической системы координат. При $\theta=\pi/2$ (экватор) получаем максимум, при $\theta=\pi$ (южный полюс) -- минимум, нуль.

Полусферу можно разбить на огромное количество таких полосочек, скажем, миллиард. Каждая из них, если её взять в руки, будет неотличима от полуокружности. Но и в этом случае крохотная ширина полосочки, почти ниточки, будет пропорциональна $\sin\theta$. И, скажем, при отыскании площади это проявляется в том, что кусок полосочки у экватора даёт больший вклад в площадь, чем такой же по длине кусок у полюса (ширины-то разные). То же при нахождении центра масс.

В пределе каждая полосочка становится полуокружностью. У кривых уже нет толщины. Но при правильном переходе к пределу от былого неравенства разных частей полосочки ("экваториальные части дают больший вклад") в интеграле остаётся некий след, память. Эта память называется "якобиан". Он как раз имеет вид $\sin\theta$. Вы можете его видеть в интегралах по сфере в сферических координатах.

Теперь видно, что если это заменить кучей полуокружностей, это будет совсем не то. Из сказанного можно понять, что центр масс полусферы будет ближе к её центру, чем центр масс полуокружности того же радиуса к её центру.

Ох, мне так понравилось Ваше объяснение. Спасибо, было интересно.

[svv]

Спасибо, очень приятно.