Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел

[jollheef]

Доброго времени суток.

Задание:
Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел $\frac{1}{(x^4 - 1)^2}$

Могу разложить с помощью метода неопределенных коэффициентов, но тогда нужно будет находить решение СЛАУ с 8 неизвестными, что очень объемно. Наверняка есть более короткое решение.

[ИСН]

$$\left({1\over x^2-1}-{1\over x^2+1}\right)^2=\dots$$

[mihailm]

тут стандартный прием: числитель в сумму или разность разных сомножителей знаменателя

[ИСН]

Один студент © завалил сессию и попал в армию. Там его поставили в наряд на кухню. Дали в руки тупой ножик и велели чистить картошку на всю роту.
- Но послушайте, ведь тут не меньше 500 картофелин - возразил бывший студент. - Это очень объемно. Наверняка есть более короткое решение.
Трое дедов одновременно обернулись, достали из котлов вёсла, которыми мешали кашу, и стали неторопливо подходить к нему.

[mihiv]

Есть еще сравнительно простой способ, который преподавателю, может быть, не понравится.
Представим исходное выражение в виде:

$$\dfrac 1{(x^4-1)^2}=\dfrac A{(x+1)^2}+\dfrac B{x+1}+\dfrac C{(x-1)^2}+\dfrac E{x-1}+\dfrac F{(x+i)^2}+\dfrac G{x+i}+\dfrac H{(x-i)^2}+\dfrac P{x-i}$$

Чтобы найти, например, коэффициент $A$, умножим обе части равенства на $(x+1)^2$ и перейдем к пределу при $x\to -1$.
Получим $A=\frac 18$, аналогично найдем остальные коэффициенты. После приведения подобных получим только вещественные выражения.

[bot]

Почему не понравится? Только при нахождении $B$, к примеру, в "аналогично" ещё войдёт дифференцирование. Ну уж и дополню - из каждой пары комплексно сопряжённых коэффициентов достаточно считать только один.

[mihiv]

bot в сообщении #738271 писал(а):

Почему не понравится?

Ну, от человека, наверное, ожидают, что он честно решит систему уравнений для коэффициентов.

mihiv в сообщении #738268 писал(а):

Получим $A=\frac 18$

Ошибка, $A=\frac 1{16}$