2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение18.06.2013, 09:09 
Доброго времени суток.

Задание:
Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел $\frac{1}{(x^4 - 1)^2}$

Могу разложить с помощью метода неопределенных коэффициентов, но тогда нужно будет находить решение СЛАУ с 8 неизвестными, что очень объемно. Наверняка есть более короткое решение.

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение18.06.2013, 09:11 
Аватара пользователя
$$\left({1\over x^2-1}-{1\over x^2+1}\right)^2=\dots$$

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение18.06.2013, 09:15 
тут стандартный прием: числитель в сумму или разность разных сомножителей знаменателя

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение18.06.2013, 09:35 
Аватара пользователя
Один студент © завалил сессию и попал в армию. Там его поставили в наряд на кухню. Дали в руки тупой ножик и велели чистить картошку на всю роту.
- Но послушайте, ведь тут не меньше 500 картофелин - возразил бывший студент. - Это очень объемно. Наверняка есть более короткое решение.
Трое дедов одновременно обернулись, достали из котлов вёсла, которыми мешали кашу, и стали неторопливо подходить к нему.

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение19.06.2013, 12:31 
Есть еще сравнительно простой способ, который преподавателю, может быть, не понравится.
Представим исходное выражение в виде:$$\dfrac 1{(x^4-1)^2}=\dfrac A{(x+1)^2}+\dfrac B{x+1}+\dfrac C{(x-1)^2}+\dfrac E{x-1}+\dfrac F{(x+i)^2}+\dfrac G{x+i}+\dfrac H{(x-i)^2}+\dfrac P{x-i}$$
Чтобы найти, например, коэффициент $A$, умножим обе части равенства на $(x+1)^2$ и перейдем к пределу при $x\to -1$.
Получим $A=\frac 18$, аналогично найдем остальные коэффициенты. После приведения подобных получим только вещественные выражения.

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение19.06.2013, 12:49 
Аватара пользователя
Почему не понравится? Только при нахождении $B$, к примеру, в "аналогично" ещё войдёт дифференцирование. Ну уж и дополню - из каждой пары комплексно сопряжённых коэффициентов достаточно считать только один.

 
 
 
 Re: Разложить на простейщие дроби над полем вещественных чисел
Сообщение19.06.2013, 17:13 
bot в сообщении #738271 писал(а):
Почему не понравится?
Ну, от человека, наверное, ожидают, что он честно решит систему уравнений для коэффициентов.

mihiv в сообщении #738268 писал(а):
Получим $A=\frac 18$
Ошибка, $A=\frac 1{16}$

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group