Как обычно доказывается расходимость последовательности?

[Ktina]

Возьмём любую расходящуюся последовательность. Например,

$$(a_n)=n^{(-1)^n}$$

Интуитивно понятно, что она расходится.
Как это доказать?

[SpBTimes]

Отрицанием Коши обычно удобно бывает.
Теорема: Последовательность $x_n$ сходится тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \forall n, m > n_0$ выполнено $|x_m - x_n| < \varepsilon$

Можно и отрицать определение.

[Ktina]

SpBTimes,
Спасибо.
А ларчик просто открывался...

[svv]

Иногда можно выделить в исходной последовательности подпоследовательность, для которой отсутствие предела очевиднее, так как сама она проще. Например, здесь можно взять элементы с четными индексами:
$b_n=a_{2n}=2n^{(-1)^{2n}}=2n$
Если бы исходная последовательность имела предел, то это же было бы справедливо и для любой её подпоследовательности.

[Ktina]

svv в сообщении #737747 писал(а):

Если бы исходная последовательность имела предел, то это же было бы справедливо и для любой её подпоследовательности.

А это откуда следует?

[SpBTimes]

Из определения подпоследовательности и того, что т.к. $... \forall n > N$ будет $|x_n - a|< \varepsilon$, то $\exists k_0: \forall k > k_0 n_{k}> N$

[Nemiroff]

Ktina в сообщении #737752 писал(а):

А это откуда следует?

Практически напрямую из определения предела.

Или, может, вы глубже спросили. Тогда, если правильно помню, единственность предела (и, соответственно, всякие факты про частичные пределы) следует из хаусдорфовости.

[Ktina]

Nemiroff в сообщении #737755 писал(а):

...следует из хаусдорфовости.

(Оффтоп)

Это уже явно не для первого курса материал

[iifat]

svv в сообщении #737747 писал(а):

Например, здесь можно взять элементы с четными индексами

Неудачный, имхо, пример. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$. Можно добавить, что нечётные стремятся к минус бесконечности, и только после этого почить на лаврах.

[Otta]

iifat в сообщении #737765 писал(а):

svv в сообщении #737747 писал(а):

Например, здесь можно взять элементы с четными индексами

Неудачный, имхо, пример. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$. Можно добавить, что нечётные стремятся к минус бесконечности, и только после этого почить на лаврах.

Они не туда стремятся, эти нечетные. ))
А учитывая, что пределом называется число, подпоследовательности, уходящей в бесконечность, вполне достаточно. Бесконечные пределы, хоть и рассматриваются особняком, не относятся к разряду "существующих".

[iifat]

Otta в сообщении #737768 писал(а):

Они не туда стремятся, эти нечетные. ))

Виноват. К нулю, конечно же.

Otta в сообщении #737768 писал(а):

учитывая, что пределом называется число, подпоследовательности, уходящей в бесконечность, вполне достаточно

По-моему, вы ищете обмануть меня. Я, впрочем, и рад, потому проверять не буду. Таки последовательность, стремящаяся к бесконечности, очень отличается от последовательности, не имеющей предела. Хотя бы тем, что обратная таки стремится к нулю. В отличие от.

[Otta]

iifat в сообщении #737777 писал(а):

По-моему, вы ищете обмануть меня.

Я сам обманываться рад.

iifat в сообщении #737777 писал(а):

В отличие от.

А как у нее с фундаментальностью? А?

Пример, который привела Ktina - пример неограниченной последовательности, предел которой не равен бесконечности. Насколько я помню, как иллюстрация существования таких последовательностей он в Демидовиче и предлагался.

[bot]

SpBTimes в сообщении #737741 писал(а):

Отрицанием Коши обычно удобно бывает.

Критерий Коши это сложно (c)ИСН. Здесь ответ на поверхности:
1) сходящаяся последовательность ограничена.
Для ограниченной последовательности часто бывает достаточно найти две подпоследовательности, имеющие различные пределы, ибо
2) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел, что и исходная.
Оба утверждения следуют сразу из определения предела ещё до того как будет установлен критерий Коши.

[Sender]

Кстати, можно заметить, что любая ограниченная расходящаяся последовательность всегда имеет хотя бы два различных частичных предела.

[svv]

iifat
Последовательность частичных сумм гармонического ряда $S_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$ всего лишь стремится к $+\infty$, тогда как для расходимости в смысле iifat она должна "совсем не иметь предела". Поэтому гармонический ряд мы не можем назвать расходящимся, он сходится к $+\infty$, правильно я Вас понял?