2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 14:11 


06/04/13
46
Не могу справиться со следующей задачкой:
пусть $X$ - линейное пространство, $A,B: X \to X$ - линейные операторы, с $D(A) = D(B) = X$, удовлетворяющие соотношениям $AB + A + I = 0, BA + A + I = 0$.
Доказать, что оператор $A^{-1}$ существует.

Пробовал воспользоваться теоремой о том, что, если обратный оператор существует, то для данного оператора справедлива оценка $||Ax|| \geq m||x||$, где $m>0$.
Все мои попытки произвести оценку приводили к тому, что $||Ax||$ больше некоторого отрицательного числа, что не даёт ровным счетом ничего.
В какую сторону думать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Дикая какая-то формулировка (что известно про B? Ничего?), но если так, то смотрим: положим, $||Ax||=0$ для какого-то ненулевого x. Тогда чему равно $(BA + A + I)x$, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 14:54 


06/04/13
46
ИСН в сообщении #737555 писал(а):
что известно про B? Ничего?

Про B ничего не знаем.
ИСН в сообщении #737555 писал(а):
чему равно $(BA + A + I)x$, например?

Так как $||Ax|| = 0$, то $Ax = 0$.
$(BA + A + I)x = B(Ax) + Ax + Ix = Ix = x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ага, вот. Ноль это или не ноль? Не ноль. А с другой стороны? $(BA + A + I)x=0x=0$
Значит что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Зачем так сложно, если из соотношений очевидно, какой именно оператор является $A^{-1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 15:24 


06/04/13
46
ИСН в сообщении #737561 писал(а):
Значит что?

$\forall x \in X: x \ne 0, (BA + I)x = 0$ ?

-- 17.06.2013, 16:26 --

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #737563 писал(а):
Зачем так сложно, если из соотношений очевидно, какой именно оператор является $A^{-1}$?

К сожалению. не для меня :-( .

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
truestyle
Предположим, что для некоторого $x\neq 0$ будет $Ax=0$.
Вы показали, что тогда $(BA + A + I)x = x \neq 0$.
А с другой стороны $(BA + A + I)x = 0x = 0$.

Иными словами, предположив это, мы получили, что не ноль равен нулю. Вывод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 15:50 


06/04/13
46
svv в сообщении #737571 писал(а):
Вывод?

Единственный ноль оператора это и есть сам ноль ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Да. Это ещё так пишут: $\operatorname{ker}A=\{0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:12 


06/04/13
46
svv в сообщении #737577 писал(а):
Да. Это ещё так пишут: $\operatorname{\ker}A=\{0\}$.


Тогда мы можем сказать, что оператор взаимно однозначен, т.к. его множество нулей состоит только из самого нуля. А это уже доказывает факт существования обратного оператора :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А теперь попробуйте получить явно сам обратный оператор (о чем говорил Xaositect).
Я начну:
$BA + A + I = 0$ (дано)
$(B + I)A + I = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:30 


06/04/13
46
svv в сообщении #737585 писал(а):
$(B + I)A + I = 0$


$(B+I)A \cdot A^{-1} + I \cdot A^{-1} = B + I + A^{-1} = 0$, $A^{-1} = -B -I$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Да. Или так:
$(B + I)A + I = 0$
$(-B -I)A = I$
Отсюда уже видно, ведь $A^{-1}A=I$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование обратного оператора
Сообщение17.06.2013, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Еще должно быть $AA^{-1} = I$, для этого дано второе равенство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group