Помогите решить задачу с параметром (квадратные уравнения)

[Участник1]

Найти все $a$, при каждом из которых уравнения
$(2a-1)x^2+6ax+1=0$ и $ax^2-x+1=0$
имеют общий корень.

Снача смотрю контрольные значения: при $a=0$ уравнения имеют общий корень $x=1$ (подходит к условию задачи). При $a=\frac {1}{2}$ уравнения не имеют общих корней.

Ну а вот дальше не пойму, что надо сделать, что бы составить какое-нибудь решение.

[нг]

Перепишите, пожалуйста, формулы, используя принятую на форуме нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Сообщите модератору (ЛС) об исправлении.

[незваный гость]

1) Как было написано на известной книжке «большими дружественными буквами»: Don't panic. Что, «на нашем простом языке» означает: не надо пугаться.

2) Если уравнения имеют общий корень, этот обший корень является корнем системы уравнений, не правда ли? В данном случае, системы уравнений второго порядка.

3) Порядок одного из уравнений системы можно уменьшить до первого, если из второго уравнения вычесть первое и разделить на $x$ (мы можем делить безопасно, поскольку $x=0$ не является корнем исходных уравнений). Его легко решить относительно $x$. Получившееся выражение (включающее $a$) будет корнем, еcли оно будет корнем исходных уравнений. Подставляем $x$, и получаем уравнение относительно $a$. Решаем его, и дело сделано.

[KiberMath]

незваный гость
Т.е. я получаю линейное уравнение из (например) второго уравнения системы, преобразую его к виду x=f(a) и это f(a) подставляю в
первое уравнение системы и решаю уравнение относительно а ?
Я вас правильно понял? Ничего не упустил?

[незваный гость]

KiberMath писал(а):

Т.е. я получаю линейное уравнение из (например) второго уравнения системы

Из первого и второго уравнения вместе. Плюс из факта, что 0 не является корнем.

И еще: обратите внимание, что переход к линейному уравнению является движением в одну сторону. Из системы следует линейное уравнение, но из линейного уравнения система не следует.