Нормировка корневых векторов

[Bulinator]

Видимо, я имел ввиду кое-что попроще. Уравнение

$$ ad_h(e_\alpha)=\alpha(h)e_\alpha,\quad h\in\mathfrak{h} $$

в общем случае имеет комплексные решения. Так что $e_\alpha$ в общем случае разлагается по базисным векторам $\mathfrak{n}_+$ с комплексными коэффициентами, а значит, может вообще не принадлежать самой вещественной алгебре.

[type2b]

именно на этот вопрос я и ответил. Да, вообще говоря, не принадлежат, но могут и принадлежать.

[Bulinator]

type2b в сообщении #737224 писал(а):

Да, вообще говоря, не принадлежат, но могут и принадлежать.

Спасибо!!!

[Bulinator]

И еще один маленький вопросик. Допустим $\lambda$- высший?(highest weight) вес какого-то неприводимого представления. Тогда по теореме о высшем весе(highest wight theorem) для любого корня $\alpha$ имеем:

$$\langle\lambda,\alpha\rangle=\frac{n_\alpha}{2}\langle\alpha,\alpha\rangle,\quad n_\alpha\in\mathbb{Z}.$$

Я очень хочу посчитать величину $\langle\lambda,\rho\rangle$, где $\rho=\frac12\sum\limits_{\alpha\in R^+}\alpha$- полусумма всех положительных корней(вектор Вейля). Понятно, что фиксируя $n_\alpha$ только для простых корней, мы автоматически зафиксируем все остальные. Есть ли какой-нибудь простой способ явно написать это выражение через $r$ штук целых чисел($r$- кол-во простых корней)?

[type2b]

'highest weight' = 'старший вес'.

зная дынкинские индексы веса и матрицу Картана, вы можете разложить старший вес по простым корням. Имеется также утверждение, что все дынкинские индексы вектора Вейля равны единице, так что его также легко разложить по простым корням. Теперь можно брать скалярное произведение, только по пути вам понадобится матрица скалярных произведений простых корней, а она для не-simply-laced алгебр отличается от матрицы Картана (ну, и вообще зависит от нормировки формы Киллинга).

Все это есть у Cahn, Semi-Simple Lie Algebras And Their Representations.

[Bulinator]

И еще, у меня получается что-то, что я не совсем понимаю. Разложим $\langle\lambda,\rho\rangle$ на сумму

$$ \langle\lambda,\rho\rangle=2\sum\limits_{\alpha\in R^+}\langle\lambda,\alpha\rangle\langle\alpha,\rho\rangle=\sum\limits_{\alpha\in R^+}n_\alpha\langle\alpha,\alpha\rangle \langle\alpha,\rho\rangle $$

С другой стороны

$$ \langle\lambda,\rho\rangle=\frac12\sum\limits_{\alpha\in R^+}\langle\lambda,\alpha\rangle=\frac14\sum\limits_{\alpha\in R^+}n_\alpha\langle\alpha,\alpha\rangle $$

И получается, кое-что странное:

$$ \sum\limits_{\alpha\in R^+}n_\alpha\langle\alpha,\alpha\rangle\left(\langle\alpha,\rho\rangle-\frac14\right)=0 $$

-- Вс июн 16, 2013 12:49:08 --

type2b в сообщении #737271 писал(а):

зная дынкинские индексы веса и матрицу Картана, вы можете разложить старший вес по простым корням.

Я хочу получить универсальную формулу. Спасибо. Пошел читать Кана

[type2b]

я и объяснил, как получить универсальную формулу.

У вас в первой строчке ошибка, поскольку базис из простых корней не ортонормированный.

[scwec]

Благодарю Bulinator за возможность участвовать в обсуждении этой темы и type2b за разяснения в хорошо забытых мною вещах (дала себя знать привычка иметь дело с вещественными алгебрами Ли).