система уравнений

[bioinformatic]

Дана система уравнений:
$\left(A^2+b A + c I\right)x=d$
(в оригинале $\pi_{(i+1)}$ \left( I - 2 h Q / 3 + h^2 Q^2 / 6 \right) = \pi_{(i)} \left( I + h Q / 3 \right))

Можно ли ее решить, не вычисляя $A^2$, если $\left(A^2+b A + c I\right)$ не раскладывается на множители?

[ИСН]

А кто все эти люди (числа или объекты какой-то другой природы), и относительно кого решить?

[bioinformatic]

ИСН в сообщении #736597 писал(а):

А кто все эти люди (числа или объекты какой-то другой природы), и относительно кого решить?

$A$ - матрица, $I$ - единичная матрица, $x, d$ - векторы, $b, c$ - скаляры.
Нужно найти $x$

[Aritaborian]

(Оффтоп)

bioinformatic в сообщении #736603 писал(а):

$x, d$ - вектора

Ве́кторы.

[Xaositect]

bioinformatic в сообщении #736593 писал(а):

Можно ли ее решить, не вычисляя $A^2$, если $\left(A^2+b A + c I\right)$ не раскладывается на множители?

$A^2 + bA + cI$ не может не раскладываться на множители. Комплексные числа - они тоже вполне себе ничего.

[ИСН]

В чём проблема найти $A^2$? Дальше всё равно придётся искать обратную матрицу, а это всяко сложнее.

[svv]

А что такое $\pi_{(i)}$?

[bioinformatic]

Xaositect в сообщении #736610 писал(а):

$A^2 + bA + cI$ не может не раскладываться на множители. Комплексные числа - они тоже вполне себе ничего.

И что мне с ними дальше делать?

svv в сообщении #736634 писал(а):

А что такое $\pi_{(i)}$?

$\pi_{(i)}$ - вектор вероятностей марковской цепочки.
Представленная схема реализует неявный метод Рунге-Кутта 3го порядка.

ИСН в сообщении #736623 писал(а):

В чём проблема найти $A^2$? Дальше всё равно придётся искать обратную матрицу, а это всяко сложнее.

Я пытаюсь решить эту систему численно. Матрица $A$ очень большая и сильно разреженная. Считать $A^2$ не эффективно.

[Xaositect]

bioinformatic в сообщении #736653 писал(а):

И что мне с ними дальше делать?

С кем? Я не знаю, зачем вы уточнили, что $A^2 + bA + cI$ не раскладывается на множители. Я думал, Вы знаете, что делать, если она таки на множители разложится. Подозреваю, что дальше надо решать системы $(A-r_1I)z = d$ и $(A-r_2I)x = z$

[bioinformatic]

Xaositect в сообщении #736657 писал(а):

С кем? Я не знаю, зачем вы уточнили, что $A^2 + bA + cI$ не раскладывается на множители. Я думал, Вы знаете, что делать, если она таки на множители разложится. Подозреваю, что дальше надо решать системы $(A-r_1I)z = d$ и $(A-r_2I)x = z$

Это и так понятно.
А вот можно ли применить, например, метод Якоби для решения $(A-r_1I)z = d$.
И где гарантия, что я в итоге получу вероятности.

[bioinformatic]

Оказалось, что систему линейных уравнений в комплексных числах можно представить как эквивалентную систему линейных уравнений в действительных числах
(http://hal-ens-lyon.archives-ouvertes.fr/docs/00/12/62/70/PDF/ComplexEMethod.pdf, 2я секция)
Попробую закодить, о результатах отпишусь позже