найти предел

[zaman]

mihailm в сообщении #736030 писал(а):

А что получилось после

от $p-\varepsilon$ до $p$

[mihailm]

правильно!

[zaman]

mihailm в сообщении #736043 писал(а):

правильно!

и что дальше?

[Nurbek]

$\lim(\int_{a}^{b}f^n(x)dx)^(1/n)=\lim(\mu^n(b-a))^(1/n)=\mu\lim(b-a)^(1/n)=\mu$,$n\rightarrow\infty$ где $\mu=(\int_{a}^{b}f(x)dx)/(b-a)$ .

-- 12.06.2013, 22:30 --

Если $f(x)=x$ то $\mu=1$

[ewert]

zaman в сообщении #736050 писал(а):

и что дальше?

Дальше -- тупо думать. Учесть, что эпсилон произволен.

[provincialka]

А вы интуитивно понимаете, каков должен быть ответ? Если знаешь это, то и строгое обоснование потом проводить легче. Заметьте, что при возведении в степень большие числа увеличиваются, а маленькие - уменьшаются.
Можно, например, вынести за скобку максимальное значение: $f(x)=Mg(x), 0\le g(x)\le 1$. Тогда выражение под пределом перепишется в виде $M\left(\int_a^bg^n(x)dx\right)^{1/n}$.

С ростом $n$ функция под интегралом будет практически равна 0, кроме точек, где $f(x)$ совпадало с максимумом. Попробуйте заменить эти "пики" функции на узкие прямоугольники и оценить интеграл и корень из него.

[Legioner93]

provincialka
Как оценивать площади прямоугольников под максимумами $g$, если не существуют никакие производные? И если глобальных максимумов бесконечное число?

Для достаточно "хорошей" функции (см. ниже) я получил, что для любого сколь угодно малого $\varepsilon$ и всех больши́х $n$ (не зависящих от $\varepsilon$)
$\int\limits_{a}^{b}{g^n}dx < \varepsilon(b-a)+ n^{-\frac{1}{2}} \cdot 2\sqrt{2}\sum\limits_{\max x_i}(-g''(x_i))^{-\frac{1}{2}}$ - суммируется про всем $x_i$, где достигается глобальный максимум.

Выражение после $n^{-\frac{1}{2}}$ - просто какое-то конкретное число.
$\varepsilon$ мы можем сделать сколь угодно быстроубывающим по сравнению с $n^{-\frac{1}{2}}$.
В итоге $\left(\int\limits_{a}^{b}{g^n}dx\right)^{\frac{1}{n}}$ сводится к $n^{-\frac{1}{2n}}$, что стремится к единице.

Осталось два вопроса, что делать, если функция "плохая"
- Не существует вторых производных. Ну, до кучи, никаких производных (нигде).
- Бесконечное число глобальных максимумов - такое тоже возможно. Например $1-|\sin(\frac{1}{x})|\cdot x$ на $[0,1]$ (доопределённая в нуле). Без модуля (бесконечно гладкие) тоже есть, так что это независимые проблемы.

Оба препятствия портят сумму в конце формулы, да и сам мой способ оценки.

[mihailm]

Legioner93 в сообщении #737464 писал(а):

provincialka
Как оценивать площади прямоугольников под максимумами $g$, если не существуют никакие производные? И если глобальных максимумов бесконечное число?
...

Как как - по определению непрерывности, для эпсилон найдется соответствующее дельта. Если максимумов (глобальных) бесконечное число - забить на все кроме одного)

(Оффтоп)

и зачем так пугать людей?

[SpBTimes]

Можно же $\forall\varepsilon > 0$ найти $\delta > 0$ такую, что $\forall x: |x - x_0| < \delta$ будет $|f(x) - M|< \varepsilon$, $M = \max{f} = f(x_0)$

Тогда $\int\limits_a^b f^n(x) dx \geqslant \int\limits_{\max(a, x_0 - \delta)}^{\min(b, x_0 + \delta)} f^n(x) dx = $
$= (f(\xi))^n (\min(b, x_0 + \delta) - \max(a, x_0 - \delta))$.
Для произвольного фиксированного $\varepsilon$ верно $((f(\xi))^n (\min(b, x_0 + \delta) - \max(a, x_0 - \delta)))^{1/n} \to f(\xi)$. В силу произвольной малости $\varepsilon$ имеем $\int\limits_a^b f^n(x) dx \geqslant M$

Ну а если максимумов много, то по конечному отрезку все равно все сводится к одному.