теорема Риза в соболевом пространстве.

[dikiy]

введем на соболевом пространстве $F:=\{x\in W_2^1[0,T]\big|\ x(0)=0\}$ следующее скалярное произведение

$$\langle x, y\rangle = \int\limits_0^T \dot x(t) \dot y(t) dt$$

.

Рассмотрим теперь линейный функционал

$$J(x)=\int\limits_0^T A(t)x(t) dt,\ A(t)\in L_{\infty}[0,T]$$

. Данный функционал линеен и ограничен, следовательно возможно его представление в виде $J(x)=\langle b, x\rangle$

Попробуем найти, как выглядит $b$. По условию должно выполнятся

$$\int\limits_0^T A(t)x(t) dt = \int\limits_0^T \dot b(t) \dot x(t) dt,\ \forall x(t)\in F$$

Но куда копать дальше? Вариант

$$ A(t)x(t)=\dot b(t) \dot x(t)$$

не приводит к результату.

[ewert]

Проинтегрируйте этот функционал по частям, выбрав подходящую первообразную от $A(t)$ (такую, чтобы удалось воспользоваться граничными условиями). Потом возьмите первообразную от этой первообразной (опять же подходящую). Потом причешите результат.

[dikiy]

благодарю! Все получается. Если я нигде не ошибся, то надор выбрать такую первообразную $\tilde A(t)$, чтобы $\tilde A(T)=0$ Выходит, что

$$b(t)=\int\limits_0^t -\tilde A(\tau) d\tau$$

[ewert]

При первом интегрировании -- да. Но потом надо будет проинтегрировать ещё раз, и тоже аккуратно.

[Portnov]

(Оффтоп)

«Соболевы пространства» мне напомнили одну историю из жизни, когда одна аспирантка на семинаре пыталась что-то изложить про уравнения соболевского типа. А в аудитории при этом присутствовали профессора Соболевский и Типко. В результате того, что аспирантка недостаточно хорошо знала, кто такой Соболев и как его уравнения правильно называются, у неё в конце концов образовались уравнения Соболевского-Типко, чему профессора очень обрадовались :)