Тройной интеграл. Центр тяжести

[loko]

Здравствуйте, столкнулся со сложностью при взятии интеграла.
Оригинальная задача из Демидовича 1972 года (№ 2268): найти центр тяжести тела, ограниченного параболоидом $y^2 + 2z^2 = 4x$ и плоскостью $x=2$.
При вычислении массы тела пришёл к следующему:

$$\int\limits_{0}^{2}dx \int\limits_{-2\sqrt[2]{x}}^{2\sqrt[2]{x}}dy\int\limits_{-\sqrt[2]{2x-y^2/2}}^{\sqrt[2]{2x-y^2/2}}dz$$= $$\int\limits_{0}^{2}dx \int\limits_{-2\sqrt[2]{x}}^{2\sqrt[2]{x}}\sqrt[2]{8x-2y^2}dy$$

И вот дальше не пойму, как его вычислить. Может был нужен переход к цилиндрическим координатам? Подстановки Эйлера ни к чему не приведут в этом корне... Нужны Ваши идеи.

[Ms-dos4]

$\[\int {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } dx = \frac{1}{2}(x\sqrt {{a^2} - {x^2}} + {a^2}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }})\]$
Для получения этого результата используйте тригонометрическую подстановку \[x = a\sin t\]$

[ewert]

Во-первых, полезно переобозначить все переменные, чтобы по "вертикали" был зет, а не икс (это не обязательно, конечно, но так как-то привычнее и, соотв, менее сбивает с толку). Во-вторых, после этого (или независимо от этого) надо перемасштабировать одну из "горизонтальных" переменных, чтобы параболоид вместо эллиптического стал по-человечески круговым, после чего тупо перейти к полярным (или, что то же, цилиндрическим) координатам.

[provincialka]

Что уж так все переобозначать... Так получится, что и уравнение $u^2-3u+2=0$ человек не решит, пока вместо $u$ значок $x$ не поставит...

[loko]

Благодаря ewert, я изменил порядок интегрирования: поменял ролями $dz$ и $dy$. Видимо так и хотели составители задачи. После этого в двукратном интеграле по подстановке Ms-dos4 удалось привести к удобоваримому виду $8\pi x$, которая стала подынтегральной функцией однократного. Масса тела вышла равной $16\pi$.
Получается, что статический момент только относительно плоскости $ZOY$ не равен нулю, а значит, центр тяжести имеет лишь компоненту $x=4/3$. Всем СПАСИБО!

[Otta]

loko в сообщении #735661 писал(а):

Получается, что статический момент только относительно плоскости $ZOY$ не равен нулю, а значит, центр тяжести имеет лишь компоненту $x=4/3$.

Но это же так естественно. Относительно остальных координатных плоскостей тело симметрично. Относительно этой же мало того, что несимметрично, так еще и все лежит по одну сторону.

[TOTAL]

loko в сообщении #735601 писал(а):

найти центр тяжести тела, ограниченного параболоидом $y^2 + 2z^2 = 4x$ и плоскостью $x=2$.
..............
И вот дальше не пойму, как его вычислить.

Площадь сечений (плоскостями $x=const$) пропорциональна $x,$ поэтому сразу пишем

$$\frac{\int\limits_{0}^{2}x^2dx}{\int\limits_{0}^{2}xdx}$$