Среднее значение ф-ии комплексной переменной

[Yarik-slavik]

Здравствуйте!
Необходимо найти среднее от значений ф-ции $ f(z) = \sin(z^3) $ на границе круга $ |z+i| = 1 $.
Использую формулу $f(z_{0}) = 1/2\pi \int f (z_{0} + R \cdot e^{i\alpha}) d\alpha$
(интеграл от 0 до $2\pi$ )

В моем случае $ z_{0} = -i$, $R = 1$.

В итоге, получаем:
$f(z_{0}) = 1/2\pi \int \sin (-i + R \cdot e^{i\alpha})^3 d\alpha$
(интеграл от 0 до $2\pi$ )

Проблема в том, что у меня нет идей, как подступиться к этому интегралу. Подскажите, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Теорема о среднем.

[BatMan]

$f($z_{0}$)$ просто так написали?

[Otta]

Не надо к нему подступаться. Надо немножко теорию знать.
В общем виде:
Что Вы можете сказать об интеграле

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz,$$

если $f$ - аналитическая внутри контура?

[Yarik-slavik]

Значит, нужно считать интеграл по кривой:
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|z+i|=1} \frac{\sin {z}^3}{z+i}\, dz$
... с помощью вычетов... тут особая точка $z = -i $- простой полюс, верно?

[Otta]

Я всего лишь спросила, что Вы можете сказать. :) А почему Вы решили, что нужно его считать?

[Yarik-slavik]

Мне же нужно найти среднее)
Вы поставили меня в тупик

[Otta]

Я не нарочно. :) По определению, среднее равно чему? И причем тут этот интеграл.
Видите, я же не знаю, что Вам и как рассказывали. (Вы тоже . А то не спрашивали бы).

[Yarik-slavik]

Теорема о среднем:
Если f(z) аналитична в замкнутом круге, то
её значение в центре круга равно среднему арифметическому значению на
граничной окружности.
Вот тут-то и дефилирует наш интеграл!
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz$

Теперь я могу его решить на законных основаниях? :)

[Otta]

Дык а что ж Вы тогда раньше терялись. ))

[Yarik-slavik]

Помогите, пожалуйста, вот еще что осмыслить: как связано среднее значение с максимальным?
Всплыло такое утверждение: пусть f(z) аналитическая в области E и непрерывна в замкнутой области E'. Тогда или |f(z)| = const, или максимальные значения |f(z)| достигаются только на границе области.
Выходит, что

$ \frac{1}{2\pi} $\int_0^{2\pi} |f(\gamma)| d\beta = M$, где $ \gamma = z_{0} + R \cdot e^{i\beta} $

Это же формула для среднего значения... его можно записать формулой, как выше?
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R} \frac{|f(z)|}{z-z_0}\, dz = M$

[Yarik-slavik]

Пожалуйста, не оставляйте без внимания этот вопрос

[Otta]

Yarik-slavik в сообщении #735739 писал(а):

Выходит, что

$ \frac{1}{2\pi} $\int_0^{2\pi} |f(\gamma)| d\beta = M$, где $ \gamma = z_{0} + R \cdot e^{i\beta} $

Это же формула для среднего значения... его можно записать формулой, как выше?
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R} \frac{|f(z)|}{z-z_0}\, dz = M$

Ничего не поняла. Почему выходит?

[Yarik-slavik]

http://huminst.ru/lib/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%90.%D0%93.,%20%D0%90.%D0%9D.%D0%A2%D0%B8%D1%85%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%20-%20%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%20%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9.%20%D0%92%D1%8B%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%204.pdf
стр. 49-50
Пытаюсь применить к моему примеру:
Найти максимальное значение, которое функция $f(z) = |\cos(z)|$ принимает в круге $|z| = 3$
Но не понимаю, каким образом.

[Otta]

Yarik-slavik
Это как-то нехорошо, ссылаться на толстую книжку ради принципа максимума модуля. Можно было проще: на стр. 49-50 сформулирован принцип максимума модуля, который я и пытаюсь использовать.

Но это я поняла давно. Я не поняла причем тут интегралы. И среднее значение.