R-линейное и C-линейное отображения

[JMH]

Имеет место следующее утверждение: отображение $z\to\overline{z}$ комплексных чисел в сопряжённые им является $\mathbb{R}$-линейным, но не $\mathbb{C}$-линейным. Мне понятно, почему отображение не является $\mathbb{C}$-линейным: если $\overline{z}=(a+ib)z$, где $a$ и $b$ - действительные числа, то следует $a^2+b^2=-1$, что невозможно. Мне непонятно, почему отображение $\mathbb{R}$-линейно? Согласно определению

Цитата:

Let $V$ and $W$ be vector spaces over the same field $K$. A function $f : V → W$ is said to be a linear map if for any two vectors $x$ and $y$ in $V$ and any scalar $\alpha$ in $K$, the following two conditions are satisfied:
$f(\vec{x}+\vec{y})=f(\vec{x})+f(\vec{y})$ - additivity
$f(\alpha\vec{x})=\alpha f(\vec{x})$ - homogeneity of degree 1.

должно существовать такое действительное число $\alpha$, что $\overline{z}=\alpha z$, но ведь и это невозможно?
Ясно, что я неправильно понимаю определение $K$-линейности, осталось только выяснить, что именно...

Заранее огромное спасибо.

[nnosipov]

JMH в сообщении #513270 писал(а):

Мне понятно, почему отображение не является $\mathbb{C}$-линейным: если $\overline{z}=(a+ib)z$, где $a$ и $b$ - действительные числа, то следует $a^2+b^2=-1$, что невозможно.

Вы неправильно понимаете, почему отображение $z \mapsto \overline{z}$ не является $\mathbb{C}$-линейным. Здесь нужно воспользоваться определением, которое Вы привели, а для этого сначала понять, что в нём написано. Как только разберётесь с определением, станет понятно, почему есть $\mathbb{R}$-линейность.

[JMH]

$f:z\to\overline{z}$
$\alpha=a+ib$, $z=x+iy$
$f(\alpha z)=f(ax-by+i(bx+ay))=ax-by-i(bx+ay)$
$\alpha f(z)=(a+ib)(x-iy)=ax+by+i(bx-ay)\Rightarrow f(\alpha z)\neq\alpha f(z)$
Вроде бы определение было понятно с самого начала; почему стал искать множитель, переводящий $z$ в $\overline{z}$ теперь уже не знаю...

Спасибо за мастерскую подсказку!

[Yarik-slavik]

Здравствуйте! Извините, но не могли бы Вы объяснить, чем в принципе заключается $\mathbb C$-линейность и $\mathbb R$-линейность?
Например, мне дано отображение $L(z) = x+y-i(y-x)$, и нужно определить, как оно линейно: $\mathbb R$ или $\mathbb C$?
Нашла такое Утверждение1: отображение $L(z)$ $\mathbb R$-линейно, если существуют такие $A$ и $B$, что $L(z) = Az+Bz'$
($z'$ - сопряженное)
Утверждение2: отображение $L(z)$ $\mathbb C$-линейно, если существуют такое $A$, что $L(z) = Az$
Подскажите, пожалуйста, как согласно этим утверждениям определить линейность на моем примере?

[nnosipov]

Yarik-slavik в сообщении #735369 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как согласно этим утверждениям определить линейность на моем примере?

Представьте Ваше отображение в виде $L(z)=Az+Bz'$, подобрав подходящие константы $A$ и $B$. Если $B$ окажется нулём, то отображение $\mathbb{C}$-линейно, иначе $\mathbb{R}$-линейно.

[Yarik-slavik]

$L(z) = x+y-i(y-x)$
$L(z) = x+y-iy+ix = (x-iy) + (y+ix) = z' + i(x-iy) = z' + iz' = (1+i)z'$
Получается, что $A = 0$, а $B= (1+i)$. Отсюда следует, что отображение $\mathbb R$ - линейно (не $\mathbb C$ - линейно). Правильно?

[nnosipov]

Да, всё верно.

[Yarik-slavik]

Спасибо!