Матрица прямого и обратного перехода в тензорном исчислении

[provincialka]

(Оффтоп)

Помню, у меня с этими тензорами получилась почти трагическая история. В первый раз нам о них рассказывали в курсе теор. механики, так сказать "на пальцах", я мучилась страшно и ничего не понимала. Но потом я распределилась на геометрию, и там рассказали все нормально, строго математически. Тут я тензоры даже полюбила (хотя с самой геометрией у меня всегда были странные отношения)

[Ms-dos4]

(Оффтоп)

provincialka

Цитата:

Помню, у меня с этими тензорами получилась почти трагическая история. В первый раз нам о них рассказывали в курсе теор. механики, так сказать "на пальцах", я мучилась страшно и ничего не понимала. Но потом я распределилась на геометрию, и там рассказали все нормально, строго математически. Тут я тензоры даже полюбила (хотя с самой геометрией у меня всегда были странные отношения)

А у меня наоборот, чисто в математике я сначала ничего не понял. Но повезло, что наш преподаватель по тензорному анализу рассказывал его в полной связи с физикой (термех, основы ОТО и т.д.), вот тогда то до меня и начало доходить. А затем уже и математика "дошла".

[provincialka]

(Оффтоп)

Ну, дык.. Получаются глубокомысленные выводы. 1) Все люди разные 2) математики люди слегка ненормальные, им (нам) формулы милее реального смысла

[illuminates]

svv
Спасибо за отличное объяснение!

svv
Munin
или быть у кого нибудь еще получится меня просветить
Есть еще два вопроса, которые я "пытался задать" но кривавато.
Позвольте спросить у вас их.

1) Зачем вообще вводить ковекторы (нижние индексы) для тензоров больше типа (1.1) ? , мы же не хотим что то типа скалярного произведения построить где нужно подключать сопряженный базис?

2) вектор нашего базиса записывается через контрвариантные индексы, а почему метрический тензор нашего базиса записывается через ковариантные?

----
Хоть убейте не могу понять
----
попросил админа переименовать тему

[svv]

illuminates писал(а):

вектор нашего базиса записывается через контрвариантные индексы

Простите, что Вы здесь имеете в виду? Напомню, для любого вектора $\mathbf a=a^k \mathbf e_k$. Если контравариантные индексы, то это не у вектора базиса, а у компонент вектора в данном базисе, они же координаты, они же коэффициенты разложения. А векторы базиса мы нумеруем нижними индексами, как видите.

-- Пн июн 10, 2013 16:12:27 --

Если Ваш вопрос означал: почему у $a^i$ индексы вверху, а у $g_{ik}$ индексы внизу?, то мой ответ вот:

Здесь та же фигня. Нижний индекс предписывает преобразовывать его при замене базиса с помощью коэффициентов $\alpha^i_k$, а верхний с помощью коэффициентов $\beta^i_k$ (это если "вперед", т.е. новое через старое). Обозначения как в том моём сообщении.

И тогда хорошо. Такое правило гарантирует, что скалярное произведение двух векторов не зависит от базиса:
$\tilde g_{ik}\;\tilde a^i\;\tilde b^k=g_{\ell m}\alpha^\ell_i \alpha^m_k \;\;a^n \beta^i_n\;\;b^p \beta^k_p=g_{\ell m}a^n b^p \;\;\alpha^\ell_i \beta^i_n \;\;\alpha^m_k \beta^k_p$
$=g_{\ell m}a^n b^p \;\delta^\ell_n \;\delta^m_p=g_{\ell m}a^\ell b^m$

Если бы все индексы были нижними, скалярное произведение не получилось бы инвариантным.

-- Пн июн 10, 2013 16:25:34 --

Кстати, всё это можно записать и в матричных обозначениях:
$(a, b)=a^T G b=\tilde a^T \tilde G \tilde b$, потому что
$\tilde a^T \tilde G \tilde b = (A^{-1} a)^T (A^T G A) (A^{-1} b)=a^T A^{-T} A^T G A A^{-1} b =a^T G b$

[illuminates]

Правильно ли я вас понял, что мы ввели разделение на нижние и верхние индексы только для ко и контр векторов в нашем базисе, все остальные объекты в нашем базисе мы вводим через нижние индексы, для того что бы работал синтаксис (правила перехода в новый базис)?

-- 10.06.2013, 20:05 --

Эх если б я придумывал тензорное исчисление, а не эти, как их там, Кронекер и Эйнштейн, то я бы ввёл все объекты нашего базиса через верхние, а сопряженного через нижние, и придумал правила перехода при которых всё бы, было бы окей:)

-- 10.06.2013, 20:23 --

и позвольте последний вопрос: Есть ли отличие между новым базисом и сопряженным (дуальным)? (именно сопряженный мы используем для построения скалярного произведения)
т. е. $\tilde g_{ik}=g^{ik}$?
где $ g^{ik}$ - метрический тензор сопряженного базиса
----
как понимаю различие фундаментальное?

-- 10.06.2013, 20:25 --
большое спасибо что вы меня учите, а не просто формально отвечаете.

[lena7]

illuminates в сообщении #735080 писал(а):

большое спасибо что вы меня учите, а не просто формально отвечаете.

Это трудно делать, когда вы игнориуете уточняющие и новодящие вопросы. Лично я уже лишилась надежды понять, что вы имеете в виду, когда к тензорам добавляете приставку "нашего базиса" и "сопряжённого базиса". И ещё, что такое базис в вашем понимании? И зачем он нужен вообще?

[illuminates]

lena7
просто на всякий случай, про просто отвечаете, относится к другим форумам, на этом форуме ни кому.

lena7 в сообщении #735089 писал(а):

Это трудно делать, когда вы игнориуете уточняющие и новодящие вопросы

Извините если и вправду игнорирую, попытаюсь оправдаться: я по тензорам близок к нулю, поэтому сам путаюсь и мне сложно когда вы меня погружаете в глубину математики. Мне б так по ферхушкам пока что. Линейный оператор, билинейная форма, это для меня за гранью.

lena7 в сообщении #735089 писал(а):

"нашего базиса"

Штрихованый который. Я не знаю как подругому как сказать.

lena7 в сообщении #735089 писал(а):

"сопряжённого базиса"

Это мнимый базис, где сидят ковектора. Он ортогонален нашему.

lena7 в сообщении #735089 писал(а):

И ещё, что такое базис в вашем понимании? И зачем он нужен вообще?

Что бы удобно работать с физическими законами.

[Xaositect]

Давайте я тоже попробую то же самое рассказать, иногда помогает.

Векторы, ковекторы и разные другие тензоры - они не могут быть "в базисе". Они сами по себе, находятся в соответствующих пространствах. Пространство - оно прекрасно себя чувствует, даже если мы в нем базис не выбрали.
Но раз нам иногда надо что-нибудь считать, то рано или поздно мы в пространстве выберем какой-то базис. И вот в этот момент, и не раньше, у векторов и ковекторов появляются координаты, у операторов и билинейных форм - матрицы, ну и у разных других тензоров тоже появляются компоненты.
Это надо осознать. Тензоры - они сами по себе, а компоненты зависят и от тензора, и от базиса, в котором мы его измеряем. Поэтому если у нас есть разные базисы, то один и тот же тензор в них будет иметь разные компоненты, но раз уж они одному тензору принадлежат, они все-таки между собой связаны.

Теперь про контр-/ковариантность. Как оказывается, основными геометрическими объектами, из которых строятся все остальные, являются векторы и ковекторы. Векторы - это, собственно, элементы пространства, которое мы изучаем, а ковекторы - это их "измерители" - ковектор эта такая штука, которая "ест" вектор и выдает скаляр. Это, собственно, основная связь между векторами и ковекторами, между пространством и сопряженным к нему: мы можем умножить ковектор на вектор и получить скаляр.

В координатах это выглядит так: у вектора есть координаты, которые показывают его проекции на каждое направление, а у ковектора есть координаты, которые дают "цену" единицы каждого направления. В итоге умножение ковектора $f$ на вектор $x$ - это просто свертка $f_i x^i$ (соглашение о суммировании одинаковых индексов в силе).
Раз векторы и ковекторы у нас таким образом связаны, то понятно, что компоненты у них должны изменяться взаимно обратным образом - если при переходе от одного базиса к другому координаты вектора изменились, то координаты коветора должны измениться так, чтобы в итоге их произведение осталось неизменным. То есть противоположным образом.

Оказывается, что эти два типа преобразования - это, по большому счету, все, что у нас есть. Бывают объекты, которые ведут себя как векторы, а бывают объекты, которые "едят" векторы и ведут себя как ковекторы. Например, линейный оператор "ест" вектор и выдает вектор, поэтому по первому индексу он ведет себя как ковектор, а по второму - как вектор. Билинейная форма "ест" два вектора и выдает скаляр - такие тензоры дважды ковариантны. Билинейные отображения "едят" два вектора и выдают вектор. Ну и так далее.

Теперь про метрический тензор и поднятие/опускание индексов. Метрический тензор - это билинейная форма, он ест два вектора и выдает их скалярное произведение. Но суть в том, что скалярное произведение мы можем зафиксировать. И вот как только мы фиксируем скалярное произведение, мы можем умножать не только ковекторы на векторы, но и векторы друг на друга с помощью $g_{ab}x^a y^b$. На это можно посмотреть и вот с какой стороны - мы сначала превращаем вектор в ковектор ("опускаем индекс"): $x_b = g_{ab}x^a$, а потом умножаем его на вектор $y$. То есть введение метрического тензора позволяет нам свободно переходить от векторов к ковекторам и обратно (если $f^b = g^{ab}f_a$, то $x^a = g^{ab}g_{bc}x^c$, поэтому $g^{ab}g_{bc} = \delta^a_c$). И это все связано с биортогональными базисами. Если нам не хочется рассматривать векторы и ковекторы как элементы разных пространств, то мы можем построить к нашему базису биортогональный и сказать, что ковариантные координаты вектора - это координаты в исходном базисе, а ковариантные - в биортогональном. Я не физик, поэтому мне это кажется неудобным, но, видимо, физикам так удобнее.

(На самом деле метрический тензор - это не обязательно скалярное произведение, он может быть отрицательным, например тот же $\operatorname{diag}(1,1,1,-1)$ в пространстве Минковского. Но это неважно, предыдущий абзац от этого не страдает.)

[lena7]

illuminates в сообщении #735101 писал(а):

Штрихованый который. Я не знаю как подругому как сказать.

Вы опять не о том. Вот вы говорите, скажем, "метрический тензор нашего базиса" -- какой смысл тут несут последние два слова. Чем отличаются "метрический тензор нашего базиса" и "метрический тензор сопряженного базиса".

Лично я такие словосочетания впервые в жизни вижу. Для меня метрический тензор -- это просто метрический тензор. И другие тензоры тоже. И вектор -- это просто вектор. Безо всяких базисов.

Чтобы выйти с вами на одну волну, нам нужно согласовать языки. Сейчас мы общаемся на пиджине.

illuminates в сообщении #735101 писал(а):

Что бы удобно работать с физическими законами.

Это определение? Базис -- это то, что нужно для работы с физическими законами?!..

[Munin]

illuminates в сообщении #735080 писал(а):

Эх если б я придумывал тензорное исчисление, а не эти, как их там, Кронекер и Эйнштейн, то я бы ввёл все объекты нашего базиса через верхние, а сопряженного через нижние, и придумал правила перехода при которых всё бы, было бы окей:)

Правила перехода есть: это правила поднятия-опускания индексов. Так что эти, как их там, всё на самом деле правильно и удобно придумали.

[illuminates]

Xaositect
спасибо за интересную логику о том как понимать ковекторы и векторы.


1) по первой части
Но такое чувство осталось к сожалению, что не понял что означает это сопряженное пространство. Даже начитался про то, что это пространство в которое переход осуществляется по средствам функционала. Но легче совсем не стало.
Для меня честно слово про векторы и ковекторы ясно лишь одно: компоненты одних преобразуются против базиса других с базисом, и тем и даже ковекторам наверное отвечают какие то физические сущности которые почему-то (ковектора) так себя ведут.
К примеру формула для работы: сила на перемещение и на косинус угла между ними. Сила это ковектор из сопряженного пространства чтоль получается?

И самое что горит, это ваше слово "ест". Что оно означат в реальности, иль геометрически чтоль?


2) по второй части
не могу понять вот эту формулу, что в ней происходит $x_b = g_{ab}x^a$ ?
[ковектор]=[метрика нашего базиса]*[вектор]? очень хочется солгать и сказать что $g_{ab}$ - метрика сопряженного базиса и тогда все понятно(хотя бы схематично). Но мне сначала Munin
, а потом и сам увидел в книге, что в $g_{ab}$ входят именно базисные вектора нашего базиса (т е не сопряженного пространства).

Xaositect в сообщении #735105 писал(а):

И это все связано с биортогональными базисами. Если нам не хочется рассматривать векторы и ковекторы как элементы разных пространств, то мы можем построить к нашему базису биортогональный и сказать, что ковариантные координаты вектора - это координаты в исходном базисе, а ковариантные - в биортогональном. Я не физик, поэтому мне это кажется неудобным, но, видимо, физикам так удобнее.

так постойте. Возможно здесь и сидит весь корень не понимания. Я всегда отождествлял дуальный базис(сопряженный) и ортогональный.
lena7
Xaositect
svv
Munin
проверте меня пожалуйста:
1) Пусть Существует пространство, хорошо, построим базис.
2) Следовательно существует сопряженное пространство, отлично, построим в нём дуальный базис
3) Теперь два этих пространства дают полное описание всего континуума, все физические объекты (имеющие векторную природу) далее "сущности", могут быть описаны с помощью этих двух пространств. Одно пространство характеризуется с помощью метрического тензора, другое с помощью сопряженного метрического тензора.
4) Некоторые сущности существуют в пространстве, другие в сопряженном пространстве
5) Одно из проявлений взаимодействия двух сущностей может быть описано при помощи скалярное произведения которое мы вводим руками. Но для построения скалярного произведения нам нужно выбрать какие сущности. Мы выбираем сущность из нашего и сопряжённого базиса и строим скалярное произведение. Скалярное произведение оределяет взаимодействие сущностей.
6) Но бывает так что взаимодействуют две сущности из нашего пространства (базиса), и чтобы описать их взаимодействие нужно ввести в добавок биортогональный базис который очень похож на сопряженный и перейти в него одним из векторов с помощью метрического тензора

-- 11.06.2013, 19:15 --

lena7
ответы на ваши вопросы скорей всего сокрыты в ответе выше.

[lena7]

Начиная с 3-го пункта пошёл бред. Короче, треш. Мне даже попкорна захотелось. Можно опять возвращаться к началу, но лучше я дам совет: читайте много и беспорядочно. Изучайте примеры и приложения. Понимание само собой выкристаллизуется. Не стройте картину мира раньше времени. Когда будет много мяса, можно наложить скелет, прочитав, например, соответствующую главу из Кострикина--Манина (сейчас не открывайте эту книгу).

Повторюсь, что тензоры -- они сами по себе и базис в них никак не входит. Базис нужен, чтобы тензоры можно было записать циферками и потом их считать. Всякие дуальные базисы -- чтобы считать было легко. Базис -- это как набор единиц измерения. Сами тензоры живут в каких-то своих пространствах. Чем сложнее тензор, тем в более сложном пространстве он живёт. Если векторы у вас живут в $V$, то ковекторы -- в $V^*$ (= сопряжённое пространство), метрический тензор -- в $V^*\otimes V^*$, дальше -- хуже. Но не думайте об этом пока.

-- 11.06.2013, 19:36 --

illuminates в сообщении #735462 писал(а):

Сила это ковектор из сопряженного пространства чтоль получается?

Если векторы у вас -- перемещения, то ковекторы -- это функции, которые берут (кушают) вектор и выдают (какают) число. На силу можно смотреть как на ковектор: она берёт перемещение $\vec s$ и выдаёт число $\vec F\cdot \vec s$ (работа).

[svv]

illuminates писал(а):

Сила это ковектор из сопряженного пространства чтоль получается?

По-хорошему -- да. Если её определять через перемещение и работу, а не как $m\ddot{\mathbf r}$.
И тогда Вы никак не получите отсюда вектор силы, пока не воспользуетесь метрикой.

Более того, чтобы из ковектора силы и вектора перемещения получить работу, метрика не нужна, косинус угла (метрическое понятие) не нужен. Собственно, между вектором и ковектором и угла-то нет, без метрики.

illuminates писал(а):

И самое что горит, это ваше слово "ест". Что оно означат в реальности, иль геометрически чтоль?

Вот так, попробуешь человеку наглядно объяснить...
На входе у двуглавого дракона две головы, и каждая ест только векторы (не ковекторы). Когда каждая из голов съела вектор, на выходе дракона возникает результат -- число. Такой дракон называется ковариантный тензор второго ранга (при условии линейности).

illuminates писал(а):

Я всегда отождествлял дуальный базис(сопряженный) и ортогональный.

Ой-ой-ой... Ортогональность -- это некоторое свойство базиса в присутствии метрики:
$(\vec e_i, \vec e_k)=\delta_{ik}$
А сопряженным один базис (сопряженного пространства $L^*$) является (или не является) по отношению к другому базису (векторного пространства $L$). В одном из вариантов обозначений это выглядит так:
$\tilde\omega^i(\vec e_k)=\delta^i_k$

[Xaositect]

illuminates в сообщении #735462 писал(а):

Но такое чувство осталось к сожалению, что не понял что означает это сопряженное пространство. Даже начитался про то, что это пространство в которое переход осуществляется по средствам функционала. Но легче совсем не стало.

У Вас же линейная алгебра была? там были линейные функционалы, помните? Вот линейные функционалы - это и есть ковекторы, а пространство все линейных функционалов - сопряженное пространство.