Последовательные числа, все простые делители которых <= p

[Droog_Andrey]

Для наперёд заданных $p$ и $k$ можно найти все такие последовательности положительных целых чисел $\{n, ..., n+k\}$, все простые делители которых не превышают $p$. Интерес представляет нахождение максимального $n$: например, доказано, что для $p=3$ и $k=1$ это восемь. Вообще, случай $k=1$ достаточно популярен:
http://oeis.org/A002072
http://oeis.org/A145605

Однако случай $k=2$ (последовательности из трёх чисел), по-видимому, исследовался не так подробно. Например, числа $\{48,49,50\}$ не имеют простых делителей, превышающих $7$; числа $\{98,99,100\}$ не делятся на простые, большие $11$, а числа $\{350,351,352\}$ - на простые, большие $13$. Максимальный же простой делитель в тройках $\{2430,2431,2432\}$, $\{13310,13311,13312\}$ и $\{212380,212381,212382\}$ равен соответственно $19$, $29$ и $41$.

Последовательности из четырёх чисел ещё более редки. Для $p=13$ известна последовательность $\{63,64,65,66\}$, а для $p=43$ - последовательность $\{10878,10879,10880,10881\}$.

Все пять чисел $\{1517,1518,1519,1520,1521\}$, а также все шесть чисел $\{285,286,287,288,289,290\}$ не имеют простых делителей, превышающих $41$. Максимальный простой делитель в последовательности из шести чисел от $3294850$ до $3294855$ равен $239$.

Восемь чисел от $4895$ до $4902$ не делятся на простые, превышающие $89$, а в последовательности из одиннадцати чисел от $3471$ до $3481$ максимальный простой делитель равен $193$. Пятнадцать же чисел от $48503$ до $48517$ составлены из простых сомножителей, не превышающих $379$.

Занимался ли кто-нибудь поиском подобных последовательностей, и известны ли какие-нибудь значимые результаты в этой области?

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #472508 писал(а):

Интерес представляет нахождение максимального $n$: например, доказано, что для $p=3$ и $k=1$ это восемь. Вообще, случай $k=1$ достаточно популярен:
http://oeis.org/A002072

Аналогичные последовательности максимальных $n$ для $k=2$ и $k=3$ соответственно также есть в базе данных Слона:
http://oeis.org/A003032
http://oeis.org/A003033

Кстати, в A002072 и A003033 есть ошибки, которые я намерен исправить

Похоже, что члены этих последовательностей растут как $e^{b_k \sqrt{p}}$, причём коэффициент $b_k$ падает с ростом $k$. Интересно было бы выразить эти коэффициенты аналитически.

Можно ввести величину $\ln(n)/\sqrt{p}$ (где $p$ - максимальный простой делитель в данной цепочке, начинающейся с $n$), с помощью которой можно сравнивать "уровень качества" различных цепочек заданной длины.

Например, среди цепочек длины $2$ (т.е. $k=1$) максимальный известный "уровень качества" равен
$\ln(19316158377073923834000)/\sqrt{103} = 5.0562...$

Для случая же $k=2$ известный максимум равен
$\ln(138982582998)/\sqrt{103} = 2.5281...$

Аналогично, для последовательностей из четырёх чисел имеем
$\ln(15473807)/\sqrt{127} = 1.4689...$

Для пятичленных последовательностей
$\ln(1517)/\sqrt{41} = 1.1438...$

А для шестичленных
$\ln(3294850)/\sqrt{239} = 0.97077...$

Вот таблица Excel с этими данными: http://www.primefan.ru/stuff/math/maxs.xls

[Sonic86]

Можно заметить для $k=3$, что для заданного $p$ полагая $x:x \geqslant p+1$ и $x$ - решение уравнения Пелля-Ферма $x^2-2y^2=-1$, $n$ не превосходит $x^2$, поскольку наибольший простой чисел тройки $x^2-1;x^2,x^2+1$ не превосходит наибольшего простого делителя чисел $x+1;x;y$ , а $y < x$.
Я надпись об этом в OEIS не нашел, поэтому решил написать здесь. Если дубль - извините, если нет, то получается, что минимальное $n$ растет не быстрее чем экспоненциально.

[Droog_Andrey]

Фишка в поиске максимального $n$, а не минимального

Из числителей рациональных приближений $\sqrt2$, о которых Вы говорите, действительно порой получаются забавные трёхчленные цепочки (кстати, трёхчленные соответствуют $k=2$, а не $k=3$):

$$57120 = 2^5\cdot3\cdot5\cdot7\cdot17$$

$$57121 = 239^2$$

$$57122 = 2\cdot13^4$$

Однако им, как правило, далеко до "рекордных". Вот в приведённом случае максимальный простой делитель равен $239$, но для него существует вдвое более длинная цепочка из бóльших чисел:

$$3294850 = 2\cdot5^2\cdot13\cdot37\cdot137$$

$$3294851 = 7\cdot53\cdot83\cdot107$$

$$3294852 = 2^2\cdot3\cdot11\cdot109\cdot229$$

$$3294853 = 79\cdot179\cdot233$$

$$3294854 = 2\cdot61\cdot113\cdot239$$

$$3294855 = 3^2\cdot5\cdot17\cdot59\cdot73$$

Пожалуй, лишь $3^2 \pm 1$ и $7^2 \pm 1$ попадают в "рекордные".

[Sonic86]

Droog_Andrey в сообщении #473014 писал(а):

Фишка в поиске максимального $n$, а не минимального

Ааа, понял Подумаю еще. И действительно, у меня $k=2$.

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #472613 писал(а):

Вот таблица Excel с этими данными: http://www.primefan.ru/stuff/math/maxs.xls

Существенно дополнил таблицу новыми данными. В частности, вот графики в координатах $\sqrt{p};\ln n(p,k)$:
http://www.primefan.ru/stuff/math/maxs_plots.gif

Здесь $n(p,k)$ - максимальное целое, для которого произведение $k+1$ подряд идущих целых, больших него, всегда содержит простой делитель, больший $p$. Графики наводят на мысль, что, возможно, существуют пределы $b_k = \lim\limits_{p\rightarrow\infty} \frac{\ln n(p,k)}{\sqrt{p}}$; пытаюсь подойти к этому вопросу аналитически, но пока не получается...

[Droog_Andrey]

Поскольку $n(p,k)$ редко изменяется с ростом $p$, имеет смысл не привязываться к конкретным простым числам, а просто рассматривать числа $m$, такие, что для всех $i>m$ наибольший простой делитель $\prod\limits_{d=0}^k(i+d)$ превышает наибольший простой делитель $\prod\limits_{d=0}^k(m+d)$.

Вот последовательности этих чисел для первых пятнадцати значений $k$:
http://oeis.org/A193943
http://oeis.org/A193944
http://oeis.org/A193945
http://oeis.org/A193946
http://oeis.org/A193947
http://oeis.org/A193948
http://oeis.org/A199407
http://oeis.org/A200566
http://oeis.org/A200567
http://oeis.org/A200568
http://oeis.org/A200569
http://oeis.org/A200570
http://oeis.org/A209837
http://oeis.org/A209838
http://oeis.org/A209839

Было бы интересно дополнить их новыми членами.

[Droog_Andrey]

Написал на NMBRTHRY: https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.e ... HRY&P=5669

Ни привета, ни ответа, как и здесь :) Похоже, эта тема одному мне интересна...

[maxal]

Напишите в SeqFan