Касательная плоскость поверхности переноса

[user p01]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей по дифференциальной геометрии.
Доказать, что касательные плоскости поверхности переноса $\vec{R}=\vec{r}\ (u^1) + \vec{\rho}\ (u^2)$ вдоль каждой линии переноса ($u^1 = constant , u^2 = constant $) параллельны некоторой прямой.
Уравнение касательной плоскости имеет вид $(\vec{R}\ - \vec{r}\ , \vec{r_{u^1}}\ , \vec{r_{u^2}}\ ) = 0 $. Как можно преобразовать уравнение поверхности?

[svv]

Задача решается просто, если очень-очень аккуратно написать уравнение касательной плоскости. И я немного изменю обозначения.

Поверхность переноса:
$\mathbf R(u^1, u^2) = \mathbf f_1(u^1)+\mathbf f_2(u^2)$
Здесь $\mathbf R$ есть функция параметров $u^1$, $u^2$.

Плоскость, касательная к ней в точке $\mathbf R(u^1, u^2)$:
$\left(\mathbf r - \mathbf R(u^1, u^2), \mathbf R_{u^1}(u^1, u^2), \mathbf R_{u^2}(u^1, u^2)\right)=0$
Здесь $u^1$, $u^2$ и $\mathbf R(u^1, u^2)$ фиксированы, меняться может $\mathbf r$.

Найдите $\mathbf R_{u^1}(u^1, u^2)$ и покажите, что оно на самом деле зависит только от $u^1$, но не от $u^2$. Аналогично разберитесь с $\mathbf R_{u^2}(u^1, u^2)$.
Когда Вы это покажете, перепишите уравнение касательной плоскости, оставив только те зависимости, которые на самом деле есть. И, если ещё не станет понятно, что дальше делать, продолжим. В любом случае что-то напишите.

[user p01]

Спасибо.
$R_{u^1}(u^1, u^2)=f_1'(u^1)$
$R_{u^2}(u^1, u^2)=f_2'(u^2)$
$(r - R (u^1, u^2), f_1'(u^1), f_2'(u^2)) = 0$
Не совсем понятно, что дальше делать.

[svv]

Всё правильно.
Будем двигать точку $\mathbf R(u^1, u^2)$, меняя только $u^1$. Легко видеть, что третий вектор смешанного произведения, $\mathbf f'_2(u^2)$, не меняется, так как не зависит от $u^1$.

А теперь надо вспомнить (или понять), что плоскость, задаваемая уравнением
$(\mathbf r-\mathbf r_0, \mathbf a, \mathbf b)=0$,
параллельна как вектору $\mathbf a$, так и вектору $\mathbf b$ (ну, или они ей параллельны).

[user p01]

Понятно. Спасибо большое.