Пересечение функций

[Keter]

Рассмотрим функции $f(x)=[ x^{10} ], \quad g(x)=x^{10}-(0,1)^{1000}x.$
Доказать, что на $[ 1; +\infty)$ графики функций не имеют пересечений.
$[ a ]$ -- антье.

С чего нужно начать? Я прав, что одна функция должна как-бы мажорировать другую?

[SpBTimes]

Keter в сообщении #734717 писал(а):

Я прав, что одна функция должна как-бы мажорировать другую?

Да. Пробовали оценить между целыми точками насколько сильно изменяет своё значение $x^{10}$, и чем там помогает линейная добавка?

[Legioner93]

Keter в сообщении #734717 писал(а):

Я прав, что одна функция должна как-бы мажорировать другую?

Не думаю. $f$ мажорирует $g$ лишь на бесконечности, когда линейная добавка грубо говоря станет меньше -1.
А в начале есть интервалы и с $f>g$ (очень близко справа от целых значений $x^{10}$), и с $f<g$, причем доля вторых интервалов мало отличается от 100%. Но потом ситуация меняется.

[provincialka]

А почему нет пересечений? Равенство $f(x)=g(x)$ можно переписать в виде $\{x^{10}\}=(0.1)^{1000}x$.
Левая часть меняется от 0 до 1, а правая - от очень малого значения до бесконечности. Они пересекаются, хотя и конечное число раз.

[Keter]

SpBTimes, линейная добавка делает функцию всегда чуть ниже антье? А последняя очень часто меняет своё положение ( я имею в виду горизонтальные палочки с выколотыми точками, там же из-за степени $f(1,1) = 2$, чуть больше и палочка поднимается). Я этот факт вроде осознаю, но еще наверное не до конца... Не уверен в нём и не знаю как доказать.

Legioner93, как Вы это проверили? Если Вы правы, тогда нужно будет оценить количество пересечений на $[1; +\infty)$.

-- 09.06.2013, 21:02 --

provincialka, если пересечения есть, разумеется на интересном для нас промежутке, то достаточно оценить их количество.
Как это сделать, пока что я не знаю... Именно $x \in [1; +\infty).$

[Legioner93]

deleted

[provincialka]

В равенстве $\{x^{10}\}=10^{-1000}x$ левая часть меньше 1. Правая равна 1 при $x=10^{1000}$. Надо подсчитать, сколько отрезков монотонности имеет левая часть на промежутке $1\le x < 10^{1000}$. (мне лень )

[Keter]

Legioner93 в сообщении #734768 писал(а):

deleted

what??

provincialka, то есть Вы хотите сказать, что пересечения будут до $10^{1000}$ ?

[Legioner93]

provincialka в сообщении #734769 писал(а):

В равенстве $\{x^{10}\}=10^{-1000}x$ левая часть меньше 1. Правая равна 1 при $x=10^{1000}$. Надо подсчитать, сколько отрезков монотонности имеет левая часть на промежутке $1\le x < 10^{1000}$. (мне лень )

По всей видимости столько же, сколько целых чисел пробегает $x^{10}$ в соответствующем интервале. А именно $(10^{1000})^{10}=10^{10000}$
И столько же пересечений будет.

[Keter]

Legioner93, а это очевидно?

Хмм.. А если мы добавим еще интервал $[0; 1)$, то +2 решения

[provincialka]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #734776 писал(а):

Legioner93, а это очевидно?

Чудный вопрос! Мне - очевидно.

[Keter]

provincialka, я имею в виду строгое доказательство этого факта

[Legioner93]

Keter в сообщении #734776 писал(а):

Хмм.. А если мы добавим еще интервал $[0; 1)$, то +2 решения

$10^{10000}$ - это всего. То есть на $[0,\infty)$

[Keter]

Legioner93, всего "палочек" в графике дробной части? Еще решение в 0. Или оно тоже учтено?

[Legioner93]

Keter в сообщении #734789 писал(а):

Legioner93, всего "палочек" в графике дробной части? Еще решение в 0. Или оно тоже учтено?

И палочек, и пересечений. $y=10^{-1000}x$ пересекает каждую палочку по одному разу. Первую - в точке $(0,0)$. Так что да, ноль тоже учтён.