Дифференциальное уравнение

[randy]

$(y+x)y'-x=0$
правильно ли его будет решать заменой $y=ux$?
после подстановки $(ux+x)(u'x+u)-x=0$
раскрытие скобок $u'ux^2+u^2x+u'x^2+ux-x=0$
дальше можно поделить на икс, но по-моему уравнение уже сейчас не так ведет себя, как в типовых случаях замены $y=ux$

-- 09.06.2013, 01:07 --

все-таки удалось переменные разделить

[Otta]

Правильно, оно однородное. Только напрасно Вы раскрываете скобочки, которые потом все равно собирать. И лучше работать с дифференциалами, чем с производными.

[iifat]

Otta в сообщении #734504 писал(а):

оно однородное

Однородное? Однородное вот: $(y+x)y'=0$. С очевидными решениями $y=C$, $y=-x$. И метод вариации постоянной приводит просто таки к исходному. И предложенная замена ничего, по-моему, не даёт — получилось ничуть не проще.

[Ms-dos4]

iifat
Оно однородное в другом смысле (т.е. уравнение вида $\[y' = f(\frac{y}{x})\]$ - с однородной функцией), т.к. $\[{y^'} = \frac{x}{{y + x}} = \frac{{\frac{x}{y}}}{{1 + \frac{x}{y}}}\]$
А то что вы написали делать нельзя ввиду того, что уравнение не является ЛДУ - оно нелинейно.

[Otta]

iifat в сообщении #734537 писал(а):

И предложенная замена ничего, по-моему, не даёт — получилось ничуть не проще.

Почему же. Дает. Переменные разделяются.
У понятия "однородное" по отношению к ДУ есть минимум два смысла. Тут упоминали, что минимум 4, но четырех я не знаю. Три могу наскрести. )) Замена эта хороша именно в однородном случае (не том, про который Вы говорите).