Ещё раз о конструктивных и неконструктивных доказательствах

[epros]

Кардановский писал(а):

Я предлагаю ввести в математику самое минимальное положительное число директивно.

Это что, шутка? Зачем?

[tolstopuz]

Кардановский писал(а):

Я предлагаю ввести в математику самое минимальное положительное число директивно.

И специальным декретом запретить делить его на 2!

[bot]

tolstopuz писал(а):

Кардановский писал(а):

Я предлагаю ввести в математику самое минимальное положительное число директивно.

И специальным декретом запретить делить его на 2!

Угу, только одним декретом не обойдёшься. Придётся, к примеру, подвергнуть ревизии области определения таких функций, как $\sin x, \ x^\alpha (\alpha > 1), ... $, отказаться от понятия предела, дифференциальное и интегральное исчисление отправить на свалку и т.д. и т.п., заменив всё конечными разностями и конечными суммами.
Впрочем, наиболее оголтелые конструктивисты призывают именно к этому. Натуральный ряд у них обрывается на некотором "самом большом" натуральном числе - типа если к куче песка добавить песчинку, то куча останется кучей.

[epros]

bot писал(а):

Впрочем, наиболее оголтелые конструктивисты призывают именно к этому. Натуральный ряд у них обрывается на некотором "самом большом" натуральном числе - типа если к куче песка добавить песчинку, то куча останется кучей.

Это клевета и инсинуации Надеюсь, что обусловленные добросовестным заблуждением.
Никакие конструктивисты (даже самые "оголтелые") никогда не предлагали "отказаться от понятия предела, дифференциальное и интегральное исчисление отправить на свалку и т.д. и т.п.", всё это в конструктивизме есть и прекрасно работает. И никакого "самого большого натурального числа", на котором "обрывается натуральный ряд" у них нет. В конструктивизме нет понятия "счётной бесконечности" (и "несчётной" тоже нет), т.е. нет "множества всех натуральных чисел", но если Вы делаете отсюда вывод о существовании максимального натурального числа, то значит, что Вы в конструктивную логику ни капли не въехали.

[Macavity]

Я не очень разбираюсь в данной тематике, но хочу указать несколько ссылок, которые содержат описание конструктивной математики, интуиционизма и т.д. и т.п.:
1. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD-%D0%9B%D1%91%D1%84&network=1 (Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике 1975)
2. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%93%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B3&network=1 (Гейтинг А. Интуиционизм 1965)
3. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A7%D1%82%D0%BE+%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5+%D0%BD%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7&network=1 (Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? 1987)

[epros]

Macavity писал(а):

Я не очень разбираюсь в данной тематике, но хочу указать несколько ссылок, которые содержат описание конструктивной математики, интуиционизма и т.д. и т.п.:
1. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD-%D0%9B%D1%91%D1%84&network=1 (Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике 1975)
2. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%93%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B3&network=1 (Гейтинг А. Интуиционизм 1965)
3. http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A7%D1%82%D0%BE+%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5+%D0%BD%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7&network=1 (Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? 1987)

Интуиционизм, конечно, это не совсем конструктивизм (хотя у них общие истоки - программа Брауэра), но во второй книге (Гейтинга), насколько я помню, есть комментарии Маркова, которые отражают точку зрения конструктивизма.

[tolstopuz]

bot писал(а):

Впрочем, наиболее оголтелые конструктивисты призывают именно к этому. Натуральный ряд у них обрывается на некотором "самом большом" натуральном числе - типа если к куче песка добавить песчинку, то куча останется кучей.

Кстати, а по ультрафинитизму вообще есть нормальные книги или это обычные фрики? А то пошел по единственной ссылке на литературу из википедии - а там до боли знакомые заголовки и текст:

Towards a FINITE (and hence RIGOROUS) Foundation of Mathematics

(i) The mathematical (and physical) universe is a huge (but FINITE) DIGITAL computer.
(ii) the traditional real line is a meaningless concept. Instead the real REAL `line', is neither real,
nor a line. It is a discrete necklace! In other words $R = hZ_p$, where $p$ is a huge and unknowable (but fixed!) prime number, and h is a tiny, but not infinitesimal , `mesh size'.
...
Project 2: Find a Rigorous Proof of Fermat's Last Theorem

[Macavity]

epros писал(а):

Интуиционизм, конечно, это не совсем конструктивизм (хотя у них общие истоки - программа Брауэра), но во второй книге (Гейтинга), насколько я помню, есть комментарии Маркова, которые отражают точку зрения конструктивизма.

Абсолютно верно.

[juna]

bot писал(а):

Впрочем, наиболее оголтелые конструктивисты призывают именно к этому. Натуральный ряд у них обрывается на некотором "самом большом" натуральном числе - типа если к куче песка добавить песчинку, то куча останется кучей.

Настоящие конструктивисты уже считают, что если к бесконечно много прибавить единицу, то будет бесконечно мало.
Таким образом, вся числовая ось (множество целых чисел) пробегается однородным процессом прибавления единицы к предыдущему, и хотя является бесконечной, но замкнутой - подобно переполнению разрядной сетки. И я не нахожу в этом никакого противоречия и вреда.

[bot]

epros писал(а):

bot писал(а):

Впрочем, наиболее оголтелые конструктивисты призывают именно к этому. Натуральный ряд у них обрывается на некотором "самом большом" натуральном числе - типа если к куче песка добавить песчинку, то куча останется кучей.

Это клевета и инсинуации Надеюсь, что обусловленные добросовестным заблуждением.

Не совсем. Однако не следовало мне пользоваться множественной формой (таким образом обобщая), а употребить китайскую форму времён противостояния Китая советскому ревизионизму: один оголтелый сказал ... , тем более что мой опыт общения с конструктивистами вообще и с оголтелыми в частности этим одним и ограничивается. Спорили мы с ним именно в описанном ключе, а отправной точкой спора послужила модель Пеано.

[epros]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Настоящие конструктивисты уже считают, что если к бесконечно много прибавить единицу, то будет бесконечно мало.
Таким образом, вся числовая ось (множество целых чисел) пробегается однородным процессом прибавления единицы к предыдущему, и хотя является бесконечной, но замкнутой - подобно переполнению разрядной сетки. И я не нахожу в этом никакого противоречия и вреда.

На каком основании Вы приписываете эту весьма странную точку зрения именно конструктивизму?

bot писал(а):

...один оголтелый сказал ...

Мне почему-то кажется, что это был не настоящий конструктивист (или Вы его неправильно поняли). Если хотите получить более адекватное представление о том, что такое конструктивизм, то правильнее будет ознакомиться с точкой зрения его основателя - А.А.Маркова.

bot писал(а):

Спорили мы с ним именно в описанном ключе, а отправной точкой спора послужила модель Пеано

Насколько я знаю, конструктивизм ничего не имеет против аксиоматики Пеано и аксиоматического подхода в целом. Отрицание им некоторых "классических" понятий можно трактовать как противоречие их определений с "аксиомой" конструктивности, согласно которой понятие определено только когда, когда приведён конечный алгоритм построения конкретных экземпляров определяемых объектов. В частности, это противоречит теоретико-множественной аксиоме бесконечности, поскольку не представлен алгоритм сборки бесконечного множества.

[juna]

epros писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Настоящие конструктивисты уже считают, что если к бесконечно много прибавить единицу, то будет бесконечно мало.
Таким образом, вся числовая ось (множество целых чисел) пробегается однородным процессом прибавления единицы к предыдущему, и хотя является бесконечной, но замкнутой - подобно переполнению разрядной сетки. И я не нахожу в этом никакого противоречия и вреда.

На каком основании Вы приписываете эту весьма странную точку зрения именно конструктивизму?

Да я пошутил, но в этой шутке есть доля правды.

[Macavity]

epros писал(а):

Насколько я знаю, конструктивизм ничего не имеет против аксиоматики Пеано и аксиоматического подхода в целом. Отрицание им некоторых "классических" понятий можно трактовать как противоречие их определений с "аксиомой" конструктивности, согласно которой понятие определено только когда, когда приведён конечный алгоритм построения конкретных экземпляров определяемых объектов. В частности, это противоречит теоретико-множественной аксиоме бесконечности, поскольку не представлен алгоритм сборки бесконечного множества.

Интересно всё-таки: какая практическая польза от конструктивизма. Что он даёт? А ведь по замыслу авторов что-то должен давать - чего ради тогда они так его назвали?

Например, позволяет ли конструктивизм открыть ряд новых полезных для практического применения (например, для современной физики) фактов, теорем, направлений?

Или он просто отвергает некие существующие "неконструктивисткие" факты..?

Или же он больше необходим для оснований математики?

Или же его последователи делают на своё детище какие-то ставки, но пока безрезультатно...

Я это насчет света в конце тунеля..., точно ли конструктивизм нужен, ну, там Герман Вейль - интуитивизм, типа там, игры гения (я утрирую, конечно), а чё там конструктивизм...

[Кардановский]

epros: Это не шутка,это предложение. Все понятия в математике когда то были введены в результате внесения подобного рода предложений ,а потом прокрутки этих предложений через обсуждение коллегиума,через систему доказательств и опровержений. Иногда этот процес затягивался на десятилетия,иногда все происходило быстро.История математики-тому подтверждение! Введенное в математику понятие 0 изначально,как представляется, несло в себе логическое противоречие: ведь 0-это то,чего нет. И вот , с тем, чего нет, математики совершают массу каких то операций,доказательств и прочее, усиленно стараясь не замечать возникающих с этим самым 0 логических казусов!

[epros]

Macavity писал(а):

Интересно всё-таки: какая практическая польза от конструктивизма. Что он даёт? А ведь по замыслу авторов что-то должен давать - чего ради тогда они так его назвали?

Вопрос про название, конечно, интересный Я так полагаю, что потому и назвали, что ориентировались в первую очередь на практическую пользу: ибо какая может быть польза в теоретическом построении, которое в принципе никак не может быть использовано? Неконструктивно это

К тому же, если я правильно понимаю идеологию этого направления, то оно рассматривает любую теорию не как выражение некой "вечной истины" изначально существующей в каком-то идеальном мире, а как мысленную или знаковую конструкцию, произведение человеческого разума. Возможно, название "конструтивизм" отсюда. Логика такова, что мысленно сконструировать мы можем практически что угодно (т.е. если мы чем-то и ограничены, то это нами же самими придуманные правила), а поэтому в первую очередь следует задасться вопросом: а что нужно конструировать? нужно ли заниматься конструированием заведомо неприменимых понятий? Отсюда правило: принимать только такие определения, которые подкреплены конкретным способом построения определяемого объекта - алгоритмом.

Macavity писал(а):

Например, позволяет ли конструктивизм открыть ряд новых полезных для практического применения (например, для современной физики) фактов, теорем, направлений?

Или он просто отвергает некие существующие "неконструктивисткие" факты..?

Или же он больше необходим для оснований математики?

Если говорить о "полезности", то я вижу не меньшую пользу в том, чтобы "закрыть" некоторые заведомо бесполезные направления, расходующие наш интеллектуальный ресурс. Ведь изначально в основаниях математики нет ничего такого, что бы говорило о "полезности" разрабатываемого направления - там только произвольно заложенные нами базовые понятия, аксиомы и правила вывода. Отсюда получается что? Мы идём по пути наименьшего сопротивления (кажущейся логической простоты) - как легко иной раз из наблюдения двух - трёх серых кошек сделать обобщающий вывод, что "все кошки серые" (и заложить его в аксиоматику) - и порой заходим в такие дебри ...

Конструктивизм просто предлагает заложить в основания некое простое правило, которое хотя бы частично гарантирует нас от построения понятий, которые невозможно будет применить.

Macavity писал(а):

Я это насчет света в конце тунеля..., точно ли конструктивизм нужен, ну, там Герман Вейль - интуитивизм, типа там, игры гения (я утрирую, конечно), а чё там конструктивизм...

Интуиционизм родился из неприятия Брауэром Гильбертовской программы аксиоматизации оснований математики на основе теории множеств. Но с моей точки зрения он не вполне последователен. Начинает он с указания но то, что при определении понятия недостаточно общей декларации его свойств, а нужно предъявлять конкретный способ построения экземпляров объекта, а потом вдруг переходит к "интуитивному" пониманию о том, что способ существует (вроде странного понятия "свободно становящаяся последовательность"). Конструктивизм в этом плане более аккуратен: когда возникает вопрос, что значит "предъявить конкретный способ", он начинает разрабатывать понятие алгоритма (см. поняте "нормального алгоритма" у Маркова).