Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям

[Black_Queen152]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, подготовиться к пересдаче экзамена по дифференциальным уравнениям.
На самом экзамене были следующие задачи. Стараюсь сейчас в них разобраться.

1. Функция $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$ - решение уравнения
$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ny=0 (a_1, ... , a_n \in \mathbb{R})$

(а) При каком наименьшем натуральном $n$ это возможно?
(б) Обязательно ли это уравнение имеет решение $y_2(t)=(t-3)^6 \ch(5t-15) \sin(2t-6)$ ?

2. Рассматриваются непродолжаемые решения задачи
$\begin{cases} \dot{x}=3x-2y-5t^{-1}\\ \dot{y}=9x-6y+e^{-3t}, \end{cases} \begin{cases} x(1)=4\\ \dot{x}(1)=-1. \end{cases}$

(а) Сколько их?
(б) На каком интервале они определены?
(в) Устойчивы ли они: по Ляпунову, асимптотически?

Сейчас разбираюсь с теорией, определениями. Вроде все термины понимаю. В первой задаче думаю, что $n = 7$, но нет идей по поводу строгого доказательства.
Подскажите, пожалуйста идеи, куда двигаться в решении этих задач. Может быть, кто-то знает литературу, в которой разбираются похожие задачи, чтобы потренироваться.

[Someone]

Black_Queen152 в сообщении #598610 писал(а):

1. Функция $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$ - решение уравнения
$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ny=0 (a_1, ... , a_n \in \mathbb{R})$

(а) При каком наименьшем натуральном $n$ это возможно?
(б) Обязательно ли это уравнение имеет решение $y_2(t)=(t-3)^6 \ch(5t-15) \sin(2t-6)$ ?

Вам нужно ответить на следующие вопросы.
а) Какие корни должно иметь характеристическое уравнение искомого дифференциального уравнения, чтобы это дифференциальное уравнение имело решение $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$?
б) Какую кратность должны иметь эти корни?

Для ясности гиперболическую функцию выразите через показательную (можно и тригонометрическую).

P.S. Что за мусор у Вас в формулах?

Black_Queen152 в сообщении #598610 писал(а):

$\begin{cases} \dot{x}=3x-2y-5t^{-1}\\ \dot{y}=9x-6y+e^{-3t}, \end{cases} \begin{cases} x(1)=4\\ \dot{x}(1)=-1. \end{cases}$

[Black_Queen152]

Спасибо за совет
Вот что получилось.
Применяю в 1а) теорему Эйлера:
Для того, чтобы функция $y(x)=e^{\lambda_0x}$ была решением ОДУ из условия, необходимо и достаточно, чтобы число $\lambda_0$ было корнем характеристичекого уравнения $y^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n=0$.
Выходит, что характеристическое уравнение должно иметь хотя бы 2 корня: $2i$ и $-2i$, потому что решение $y_1(t)$ записывается через экспоненты как
$\frac{3t^7}{4i}(e^{2ix}-e^{-2ix})$.
То есть минимальное $n=2$ (тогда получается $a_1=0$, $a_2=4$).
Все верно?
С пунктом б) и второй задачей пока не разобралась что делать

Насчет мусора в формулах - сейчас мой первый пост отображается нормально (как и раньше), редактировать его уже нельзя. У других он по-прежнему отображается с "мусором"?

[Drimerg]

Так же интересует решение представленных в первом посту задач. Может кто-нибудь подсказать?

В первой задаче под а получается два корня
$x = \pm 5 \pm 2i$ кратности 8 правильно?

[ewert]

Drimerg в сообщении #734347 писал(а):

В первой задаче под а получается два корня
$x = \pm 5 \pm 2i$ кратности 8 правильно?

Почти правильно (два всё-таки не совсем равно четырём).

[Drimerg]

Я имел ввиду две пары комплексных сопряженных корней кратности 8 ))
тогда получается наименьшее n=16 ?

[ewert]

Drimerg в сообщении #734352 писал(а):

тогда получается наименьшее n=16 ?

тогда не получается

[Drimerg]

Сколько же тогда?

[Drimerg]

Пришел к выводу, что $n=32$. Правильно?

[Drimerg]

Может с б и со второй кто-нибудь помочь?

[Deggial]

Drimerg, замечание за бессодержательные сообщения.