2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение24.07.2012, 13:57 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, подготовиться к пересдаче экзамена по дифференциальным уравнениям. :roll:
На самом экзамене были следующие задачи. Стараюсь сейчас в них разобраться.

1. Функция $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$ - решение уравнения
$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ny=0
(a_1, ... , a_n \in \mathbb{R})$

(а) При каком наименьшем натуральном $n$ это возможно?
(б) Обязательно ли это уравнение имеет решение $y_2(t)=(t-3)^6 \ch(5t-15) \sin(2t-6)$ ?

2. Рассматриваются непродолжаемые решения задачи
$\begin{cases}
\dot{x}=3x-2y-5t^{-1}\\
\dot{y}=9x-6y+e^{-3t},
\end{cases}
\begin{cases}
x(1)=4\\
\dot{x}(1)=-1.
\end{cases}$

(а) Сколько их?
(б) На каком интервале они определены?
(в) Устойчивы ли они: по Ляпунову, асимптотически?

Сейчас разбираюсь с теорией, определениями. Вроде все термины понимаю. В первой задаче думаю, что $n = 7$, но нет идей по поводу строгого доказательства.
Подскажите, пожалуйста идеи, куда двигаться в решении этих задач. Может быть, кто-то знает литературу, в которой разбираются похожие задачи, чтобы потренироваться. :roll:

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение24.07.2012, 14:09 
Аватара пользователя
Black_Queen152 в сообщении #598610 писал(а):
1. Функция $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$ - решение уравнения
$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ny=0
(a_1, ... , a_n \in \mathbb{R})$

(а) При каком наименьшем натуральном $n$ это возможно?
(б) Обязательно ли это уравнение имеет решение $y_2(t)=(t-3)^6 \ch(5t-15) \sin(2t-6)$ ?
Вам нужно ответить на следующие вопросы.
а) Какие корни должно иметь характеристическое уравнение искомого дифференциального уравнения, чтобы это дифференциальное уравнение имело решение $y_1(t)=3t^7 \ch5t \sin2t$?
б) Какую кратность должны иметь эти корни?

Для ясности гиперболическую функцию выразите через показательную (можно и тригонометрическую).

P.S. Что за мусор у Вас в формулах?
Black_Queen152 в сообщении #598610 писал(а):
$\begin{cases}
\dot{x}=3x-2y-5t^{-1}\\
\dot{y}=9x-6y+e^{-3t},
\end{cases}
\begin{cases}
x(1)=4\\
\dot{x}(1)=-1.
\end{cases}$

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение03.08.2012, 07:51 
Аватара пользователя
Спасибо за совет :-)
Вот что получилось.
Применяю в 1а) теорему Эйлера:
Для того, чтобы функция $y(x)=e^{\lambda_0x}$ была решением ОДУ из условия, необходимо и достаточно, чтобы число $\lambda_0$ было корнем характеристичекого уравнения $y^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n=0$.
Выходит, что характеристическое уравнение должно иметь хотя бы 2 корня: $2i$ и $-2i$, потому что решение $y_1(t)$ записывается через экспоненты как
$\frac{3t^7}{4i}(e^{2ix}-e^{-2ix})$.
То есть минимальное $n=2$ (тогда получается $a_1=0$, $a_2=4$).
Все верно? :-)
С пунктом б) и второй задачей пока не разобралась что делать :-(

Насчет мусора в формулах - сейчас мой первый пост отображается нормально (как и раньше), редактировать его уже нельзя. :?: У других он по-прежнему отображается с "мусором"?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 13:00 
Так же интересует решение представленных в первом посту задач. Может кто-нибудь подсказать?

В первой задаче под а получается два корня
$x = \pm 5 \pm 2i$ кратности 8 правильно?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 13:08 
Drimerg в сообщении #734347 писал(а):
В первой задаче под а получается два корня
$x = \pm 5 \pm 2i$ кратности 8 правильно?

Почти правильно (два всё-таки не совсем равно четырём).

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 13:19 
Я имел ввиду две пары комплексных сопряженных корней кратности 8 ))
тогда получается наименьшее n=16 ?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 13:24 
Drimerg в сообщении #734352 писал(а):
тогда получается наименьшее n=16 ?

тогда не получается

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 13:38 
Сколько же тогда?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 16:16 
Пришел к выводу, что $n=32$. Правильно?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 18:41 
Может с б и со второй кто-нибудь помочь?

 
 
 
 Re: Задачи на экзамене по дифференциальным уравнениям
Сообщение08.06.2013, 18:57 
Аватара пользователя
 !  Drimerg, замечание за бессодержательные сообщения.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group