Соболево пространство на бесконечном интервале.

[dikiy]

Как правильно выбрать норму на соболевом пространстве $W_2^1[0,\infty]$? Да и вообще как она вводится? То, что мне приходит в голову - это

$$\langle x, y\rangle = x(0)y(0)+\int\limits_0^{\infty} e^{-t} \dot x(t) \dot y(t) dt.$$

Но мне хотелось бы использовать в этом пространстве базис из полиномов Лагера. А у них есть свойство ортогональности относительно следующего скалярного произведения:

$$\langle L_n(x),L_m(x) \rangle = \int\limits_0^{\infty} e^{-t} L_m(t) L_n(t) dt = 0,$$

где $L_n$ и $L_m$ полиномы Лагера:

$$L_n(x) = e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$$

Как мне это все увязать?

[ewert]

dikiy в сообщении #733710 писал(а):

Как правильно выбрать норму на соболевом пространстве $W_2^1[0,\infty]$?

Молча выбрать -- как интеграл от суммы соотв. квадратов и точка. А что Вам хочется именно Лагерров -- так это лишь Ваша личная блажь. Которая, возможно, и обоснованна спецификой задачи; однако судить об этом невозможно, т.к. ни специфика, ни даже сама задачка не предъявлены. В любом случае это пространство выйдет не соболевским в стандартном понимании.

[dikiy]

ewert в сообщении #733780 писал(а):

dikiy в сообщении #733710 писал(а):

Как правильно выбрать норму на соболевом пространстве $W_2^1[0,\infty]$?

Молча выбрать -- как интеграл от суммы соотв. квадратов и точка. А что Вам хочется именно Лагерров -- так это лишь Ваша личная блажь. Которая, возможно, и обоснованна спецификой задачи; однако судить об этом невозможно, т.к. ни специфика, ни даже сама задачка не предъявлены. В любом случае это пространство выйдет не соболевским в стандартном понимании.

задача у меня состоит в применении метода Ритца для минимизации данного функционала. Ну и соответственно надо будет выбрать базис в данном пространстве. И полиномы Лагерра мне кажутся в данном случае неплохим направлением копания.