Знакочередующийся ряд...

[AKV]

Здравствуйте!

Пожалуйста помогите исследовать на сходимость знакочередующийся ряд вида:

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {( - 1)^n e^{n\tau } } \]

где

\[ \tau > 0 \]

[Someone]

Так называемый "необходимый признак сходимости" знаете?

[AKV]

Общий член ряда не стремится к нулю, а следовательно он не сходится...

Спасибо!

Добавлено спустя 13 минут 50 секунд:

Есть ещё один знакочередующийся ряд, сумму которого я найти затрудняюсь:

\[ \begin{array}{l} S(t) = \sum\limits_{{\rm{n = 0}}}^\infty {{\rm{( - 1)}}^{\rm{n}} \sigma (t - n\tau )e^{ - B(t - n\tau )} } \\ B > 0 \\ \tau > 0 \\ \sigma (t) = \left\langle {\begin{array}{*{20}c} {0,t < 0} \\ {1,t \ge 0} \\ \end{array}} \right\rangle \\ \end{array} \]

[Bod]

AKV писал(а):

Есть ещё один знакочередующийся ряд, сумму которого я найти затрудняюсь:

\[ \begin{array}{l} S(t) = \sum\limits_{{\rm{n = 0}}}^\infty {{\rm{( - 1)}}^{\rm{n}} \sigma (t - n\tau )e^{ - B(t - n\tau )} } \\ B > 0 \\ \tau > 0 \\ \sigma (t) = \left\langle {\begin{array}{*{20}c} {0,t < 0} \\ {1,t \ge 0} \\ \end{array}} \right\rangle \\ \end{array} \]

Ну в данном случае у тебя всегда будет сумма конечного числа элементов:

\[ \sum\limits_{n = 0}^{n \le \frac{t}{\tau }} {\left( { - 1} \right)^n e^{ - B(t - n\tau )} } \]

А в каком виде тебе нужно найти ответ?

[AKV]

Bod

а в каком виде его дать можно?...

[bot]

Дык, сумма геометрической прогрессии:

$\sum\limits_{n = 0}^{n \le \frac{t}{\tau }} {\left( { - 1} \right)^n e^{ - B(t - n\tau )} } = e^{-Bt}\cdot \frac{1+(-1)^me^{B(m+1)\tau}}{1+e^{B\tau}} \ \ $, где $m=[\frac{t}{\tau}]$

[AKV]

Bod

Правильно ли я понимаю: выражение

\[\frac{t}{\tau }\]

обозначает целую часть от деления?


bot
Поясните пожалуйста...
Как знакопеременная сумма преобразуется в геометрическую прогрессию?

[bot]

AKV писал(а):

Bod

Правильно ли я понимаю: выражение

\[\frac{t}{\tau }\]

обозначает целую часть от деления?

У него же написано $n\le \frac{t}{\tau}$, а это для целого n равносильно $n\le [\frac{t}{\tau}]$

Цитата:

bot
Поясните пожалуйста...
Как знакопеременная сумма преобразуется в геометрическую прогрессию?

$S=a(1+q+q^2+...+q^m)=a\cdot \frac{1-q^{m+1}}{1-q}$, где $a=e^{-Bt}, \ q=-e^{B\tau}$.

P.S. Немного со знаками поднапутал, сейчас подправлю.

[AKV]

bot

Так вроде бы сумма геометрической прогрессии записывается так:

$S=a(1+q+q^2+...+q^m)=a\cdot \frac{1-q^{m}}{1-q}$

Или все таки с "m+1"?

[Bod]

AKV писал(а):

bot

Так вроде бы сумма геометрической прогрессии записывается так:

$S=a(1+q+q^2+...+q^m)=a\cdot \frac{1-q^{m}}{1-q}$

Или все таки с "m+1"?

Нет именно m+1

[AKV]

Большое спасибо!

Тема закрыта...