Производная равна нулю, а сама функция непостоянна, как так?

[Ktina]

У функции

$$f(x)=2\arctg x+\arcsin\frac{2x}{x^2+1}$$

производная оказалась равной нулю (во всяком случае, у меня):

$$\left(2\arctg x+\arcsin\frac{2x}{x^2+1}\right)'=\frac{2}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}}}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^2+1)^2-4x^2}{(x^2+1)^2}}}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=$$

$$=\frac{2}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x^4-2x^2+1}{(x^2+1)^2}}}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=$$

$$=\frac{2}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^2-1)^2}{(x^2+1)^2}}}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=$$

$$=\frac{2}{x^2+1}+\sqrt\frac{(x^2+1)^2}{(x^2-1)^2}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=$$

$$=\frac{2}{x^2+1}+\frac{(x^2+1)}{(x^2-1)}\cdot\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=0$$

Однако, легко проверить, что наша функция не является константой, так как при $x=1$ она равна $\pi$, а при $x=0$ она равна нулю.
Как так?

[svv]

В последнем переходе такое взятие корня предполагает, что $x^2-1$ неотрицательно.

-- Чт июн 06, 2013 10:39:47 --

Обязательно посмотрите на график.

[nnosipov]

Квадратный корень можно убрать двумя способами. При $|x|>1$ действительно производная равна нулю, а при $|x|<1$ --- нет.

[Ktina]

svv в сообщении #733423 писал(а):

В последнем переходе такое взятие корня предполагает, что $x^2-1$ неотрицательно.

Точно, не заметила. Спасибо!
Но, всё-таки, при $x\ge 1$ и при $x\le -1$ получается константа!

[svv]

Да. Удивительно.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #733424 писал(а):

Квадратный корень можно убрать двумя способами. При $|x|>1$ действительно производная равна нулю, а при $|x|<1$ --- нет.

И вообще, интересный график получается.

[svv]

Выглядит так, будто функция хотела при $x>1$ двигаться как-то иначе (по-старому, лишь слегка замедляя рост), но её грубо оконстантили.

Вопрос: как она хотела бы двигаться?

[Ktina]

svv в сообщении #733434 писал(а):

Выглядит так, будто функция хотела при $x>1$ двигаться как-то иначе (по-старому, лишь слегка замедляя рост), но её грубо оконстантили.

Вопрос: как она хотела бы двигаться?

(Оффтоп)

Надо у неё спросить.

-- 06.06.2013, 12:12 --

(Оффтоп)

Пошла у неё спрашивать, но не знала, как к ней обратиться. На имена Катенька и Марго она не откликается

[arschloach]

если внимательно посмотреть на функцию, то ее график очевиден
ведь две половинки, из которых в сумме получается искомая функция, равны друг другу на интервале $[-1;1]$
а за пределами они начинают расти и убывать с равными, но противоположными скоростями соответственно, что в сумме дает константу

[Ktina]

arschloach,
Спасибо!

[Sender]

Интересно, используется ли эта функция в нейронных сетях в качестве передаточной?

[TOTAL]

Я таких функций могу напридумывать миллион, например: $f(x)=\min\{|x^2|, 1\}$

[Ktina]

Sender в сообщении #733458 писал(а):

Интересно, используется ли эта функция в нейронных сетях в качестве передаточной?

Мне тоже безумно интересно.
По всей видимости, Вы имели в виду искусственные нейронные сети.

-- 06.06.2013, 13:21 --

TOTAL в сообщении #733459 писал(а):

Я таких функций могу напридумывать миллион, например: $f(x)=\min\{|x^2|, 1\}$

Она не выражается через элементарные.

[svv]

Ktina, посмотрите ещё на график

$$f(x)=2\arctg x-\arcsin\frac{2x}{x^2+1}$$

[Ktina]

svv в сообщении #733473 писал(а):

Ktina, посмотрите ещё на график

$$f(x)=2\arctg x-\arcsin\frac{2x}{x^2+1}$$

Великолепно!