Уравнение связи

[lucien]

Задача 1 (Нерастяжимая нить).
Найти условие, которому должно удовлетворять мгновенное значение касательной компоненты скорости $v_\tau(s)$ нерастяжимой нити; $s$ -- натуральный параметр вдоль нити.

Задача 2 (Твердое тело).
Пусть $\vec{v}(\vec{r})$ -- мгновенное поле скоростей твердого тела. Найти локальное условие, которому должно удовлетворять $\vec{v}(\vec{r})$. Является ли это условие достаточным?

[Oleg Zubelevich]

lucien в сообщении #732910 писал(а):

Задача 2 (Твердое тело).
Пусть $\vec{v}(\vec{r})$ -- мгновенное поле скоростей твердого тела. Найти локальное условие, которому должно удовлетворять $\vec{v}(\vec{r})$. Является ли это условие достаточным?

если среда является твердым телом то ротор поля скоростей не зависит от точки, обратное неверно, вообще говоря

lucien в сообщении #732910 писал(а):

Задача 1 (Нерастяжимая нить).
Найти условие, которому должно удовлетворять мгновенное значение касательной компоненты скорости $v_\tau(s)$ нерастяжимой нити; $s$ -- натуральный параметр вдоль нити.

$$\frac{\partial}{\partial s} v_\tau=-k(s)v_n$$

$k$ -- кривизна нити (если в знаке не ошибся)

[lucien]

Oleg Zubelevich в сообщении #732936 писал(а):

ротор поля скоростей не зависит от точки, обратное неверно, вообще говоря

Тогда переформулирую: написать условие, котрое является необходимым и достаточным.

[Oleg Zubelevich]

видимо тема инспипирирована этим topic73154.html

[svv]

Задача 1.
$\mathbf r=\mathbf r(s, t)$
$\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\cdot\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}=1$
$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\cdot\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\right)=0$
$\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial \mathbf r}{\partial t}\cdot \boldsymbol\tau=0$
$\frac{\partial\mathbf v}{\partial s}\cdot \boldsymbol\tau =0$
$\frac{\partial}{\partial s}(\mathbf v\cdot \boldsymbol\tau)=\mathbf v\cdot\frac{\partial \boldsymbol\tau}{\partial s}$
$\frac{\partial v_{\tau}}{\partial s}=k\mathbf n\cdot\mathbf v$

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #732936 писал(а):

$$\frac{\partial}{\partial s} v_\tau=-k(s)v_n$$

svv в сообщении #733180 писал(а):

$\frac{\partial v_{\tau}}{\partial s}=k\mathbf n\cdot\mathbf v$

это из серии "найдите пять отличий"?

[svv]

Ой, извините...
Получилось так: я посмотрел на Ваше сообщение и увидел, что оно вроде бы посвящено задаче 2.

Przepraszam pana...

[Oleg Zubelevich]

nie szkodzi

[svv]

Задача 2.
Приведу своё решение, может, кому-то пригодится.
Две системы координат:
$K$ -- лабораторная: пространственные координаты $x^i$ и время $t$.
$K'$ -- связанная с телом: $\xi^i$ и время $\tau$.
$t=\tau$, но для порядка я их буду различать.

При движении твердого тела расстояния между его точками сохраняются, отсюда можно вывести, что компоненты метрического тензора в $K'$ не зависят от $\tau$:
$\frac{\partial}{\partial \tau}g'_{\ell m}(\xi, \tau)=0$
Так как $g'_{\ell m}=g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}$, то
$\frac{\partial g_{ik}}{\partial \tau}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial^2 x^i}{\partial\tau\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial^2 x^k}{\partial\tau\partial \xi^m}=0$
Компоненты $g_{ik}$ не зависят от $t$ явно (так задаём $K$), но зависят от $x(\xi, \tau)$:
$\frac{\partial}{\partial \tau}g_{ik}(x(\xi, \tau))=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\frac{\partial x^n}{\partial \tau}=v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}$, поэтому
$v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial v^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial v^k}{\partial \xi^m}=0$

Потребуем, чтобы в момент $t=\tau=0$ было $x^i=\xi^i$. Тогда в этот момент
$v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\delta^i_\ell \delta^k_m+g_{ik}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}\delta^k_m+g_{ik}\delta^i_\ell\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$
$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$
$\mathcal{L}_v g=0$

[Oleg Zubelevich]

это называется тензор скоростей деформаций равен нулю, я на это и намекал там выше

[lucien]

К задаче 2.

Условие того, что тело в некотрой точке недеформированно в направлении вектора $\vec{a}$:

$$ \quad \vec{a}(\vec{a}\nabla)\vec{v}=0 $$

Поскольку направление $\vec{a}$ произвольное, то (ответ к задаче2)

$$ \partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1) $$

Чтобы доказать, что это условие также и достаточное, найдем общее решение (1).

Положив в (1) $i=j$, находим

$$ \partial_i v_i=0\quad\mbox{(нет суммирования по $i$).}\eqno(2) $$

Теперь продифференцируем (1) еще раз

$$ \partial_i^2 v_j=-\partial_j(\partial_i v_i)=0 $$

т.е. $v_i$ зависит от координат лишь линейно, причем $v_i$ не зависит от $x_i$ (из (2)):

$$ v_i=\sum_{i\neq j}a_{ij}x_j+b_i $$

Подставляя это в (1) находим, что $a_{ij}=-a_{ji}$, т.е.

$$ \vec{v}=\vec{v}_0+[\vec{\omega},\vec{r}]\,,\quad \vec{v}_0,\vec{\omega}=\overrightarrow{\mathrm{const}}. $$

[Oleg Zubelevich]

lucien в сообщении #735385 писал(а):

(ответ к задаче2)

$$ \partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1) $$

который уже выписан:

svv в сообщении #733812 писал(а):

$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$

lucien в сообщении #735385 писал(а):

Чтобы доказать, что это условие также и достаточное,

следует непосредственно из определения производной Ли

[svv]

Oleg Zubelevich
Не беспокойтесь, lucien не утверждала, что мы не решили. Она просто показала самое удачное, с её точки зрения, решение. Разумеется, мы его тоже засчитываем.

[Oleg Zubelevich]

вот кстати, а как из этого

svv в сообщении #733812 писал(а):

$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$

получить это

lucien в сообщении #735385 писал(а):

$$ \partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1) $$

нужны условия совместности деформаций, в силу этих условий существует система координат в которой $g_{ij}=\delta_{ij}$